Главная > Математика > Ошибки в математических рассуждениях
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9. Уклонение от тезиса.

Некоторые софизмы построены на том, что в ходе доказательства абсурдный тезис софизма подменяется каким-либо истинным утверждением. Отождествление истинного с ложным достигается наличием внешнего сходства в их формулировках. В силу же такой подмены «доказательство» ложного суждения получает вид безукоризненного доказательства. Сказанное станет более рельефным, если вспомнить, например, софизм Прокла.

Черт. 11.

Прокл в своих комментариях к Евклиду рассказывает о том, что греческой науке существовала попытка опровергнуть постулат параллельности. С этой целью стремились показать, что две прямые не пересекаются между собой и тогда, когда, будучи пересечены третьей, они образуют такие внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых.

Пусть две прямые пересечены третьей прямой (черт. 11). По ту сторону от по которую сумма внутренних углов меньше отложим на прямых и отрезки и равные Точки совпасть не могут, ибо в этом случае получился бы треугольник (или в котором сумма двух сторон равна третьей, что невозможно.

Соединим теперь отрезком прямой точки На прямых и отложим, сохраняя направление, отрезки

и равные Легко видеть, что но соображениям, высказанным ранее, точки совпасть не могут.

Так как подобные рассуждения можно повторять сколько угодно раз, то приходим к выводу, что прямые и не пересекутся.

В этом доказательстве мы сталкиваемся с подменой тезиса. В самом деле, здесь вместо того чтобы доказать отсутствие точки пересечения, доказывается только, что ее действительно невозможно достигнуть с помощью охарактеризованного процесса рассуждений.

В простейшем случае, когда углы и равны, рассуждение сводится к воспроизведению софизма «Ахиллес и черепаха» и так же опровергается.

Характеризуя случай, когда углы и не равны, заметим, что из того факта, что первый отрезок на не пересекает первый же отрезок на второй отрезок одной прямой не пересекает второй же отрезок другой прямой и т. д., было бы поспешным заключать, что вообще ни один отрезок прямой не пересекает ни одного отрезка прямой В парадоксальном же рассуждении как раз и допускалась только возможность пересечения отрезка прямой А В с одноименным же отрезком прямой и молчаливо исключалась всякая возможность обнаружения этой точки как точки пересечения двух неодноимепных отрезков.

Анализируемую чисто логическую ошибку мы представим себе еще более выпукло, если сопоставим ее со следующим рассуждением аналогичной структуры.

Посылки. Отец семьи X не знает отца семьи мать первой семьи не знает матери второй семьи; единственный сын одной семьи не знает единственного сына другой семьи.

Вывод. Ни один член семьи X не знает ни одного члена семьи

Софизмы этого же типа могут быть построены и на том, что под видом привлечения к решению задачи другого способа происходит не изменение способа решения или во всяком случае не только его, но и изменение самой задачи.

Пример. Отец, умирая, оставил своим трем сыновьям завещание, в котором распорядился, чтобы после его смерти братья поделили между собой стадо в 17 верблюдов так: старшему — половину, среднему — третью часть, а младшему — девятую.

Завещание старика казалось не поддающимся точному выполнению, так как братья к не допускали мысли резать

верблюдов на части. Однако, воспользовавшись разумным советом, они начали с того, что одолжили одного верблюда у соседа и присоединили его к своему стаду. После этого осуществление дележа не вызывало уже затруднений. В результате его старший получил 9 верблюдов, средний младший — 2. Теперь потребность в верблюде соседа отпала, и он был возвращен своему хозяину.

Таким образом, выходит, что завещание отца по крайней мере теоретически может быть точно выполнено не только в дробных, но и в целых числах.

Разъяснение. Отец составил завещание непредусмотрительно. Сумма долей составляет а не единицу. Точное выполнение завещания, не считающееся с требованиями целесообразности и практической реализацией, предполагает передачу старшему сыну голов стада, среднему и младшему Это сумме составит , а от одного верблюда остаются вне требований раздела.

Мудрый совет состоял в такой подмене тезиса завещания, благодаря которой бралось частей не от 17, а от 18 единиц, что как раз совпадает с численностью стада, подвергаемого дроблению. Такое решение вопроса представляет собой, однако, не точную реализацию завещания, а только целесообразное приближение к выполнению его требований. В самом деле, старший фактически получил больше на верблюда, средний на а младший на Эти прибавки в своей сумме исчерпывают остававшиеся согласно завещанию вне раздела от одного верблюда.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление