Главная > Математика > Ошибки в математических рассуждениях
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ И ИХ ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ РОЛЬ.

Софизм — слово греческого происхождения, в переводе означающее хитроумную выдумку, ухищрение или головоломку. Речь идет о «доказательстве», направленном на формально-логическое установление абсурдного положения.

Математические софизмы представляют собой тот частный случай ошибок в математических рассуждениях, когда при разительной неверности результата ошибка, приводящая к нему, более или менее хорошо замаскирована. Раскрыть софизм — это значит указать ошибку в рассуждении, с помощью которой была создана внешняя видимость доказательства. Осознание ошибки обычно достигается противо поставлением ложному рассуждению истинного.

В основном математические софизмы строятся на невер ном словоупотреблении, на неточности формулировок, очень часто на забвении условий применимости теорем, на скрытом выполнении невозможных действий, на незаконных обобще

ниях, особенно при переходе от конечного числа объектов к бесконечному, и на маскировке ошибочных рассуждений или предположений с помощью геометрической «очевидности», В. И. Ленин дает обобщающую формулировку, характеризуя софистику, как «...выхватывание внешнего сходства случаев вне связи событий...».

Математический софизм тем более замысловат, чем более тонкого характера проводимая в нем ошибка, чем менее она предупреждена обычным школьным изложением предмета и чем искуснее она замаскирована неточностями внешнего выражения. С целью маскировки обычно усложняют завязку софизма, т. е. формулируют такое положение, в процессе доказательства которого приходится использовать несколько истинных математических утверждений, способствующих отвлечению того лица, кто шцет ошибку, на ложный путь В некоторых софизмах достижению подобного отвлечения удачно содействует оптическая иллюзия.

Основная цель введения софизмов в школу заключается в приобщении к критическому мышлению, к умению не только воспроизводить определенные логические схемы, определенные мыслительные процессы, но и критически осмысливать каждый этап рассуждений в соответствии с усвоенными принципами математического мышления и вычислительной практики.

Практика преподавания убедительно подтверждает, что возможности целесообразного использования математических софизмов возрастают по мере продвижения учащихся по ступеням классной лестницы, по мере роста их интереса к логической структуре науки. Особенно серьезно и углубленно эта работа может быть поставлена в математическом кружке учащихся старших классов, где обычно проявляется повышенный интерес к логическим основам методов математического доказательства.

Математические софизмы заставляют особо внимательно, с большой настороженностью прочитывать их тексты, тщательно следить за наличием должной точности в формулировках и записях, за соблюдением всех условий применимости теорем, за отсутствием незаконных обобщений, запрещенных действий, ссылок на кажущиеся свойства фигур и вспомогательных построений. Все эти моменты ценны в методическом отношении, так как они направлены на содержательное усвоение предмета, противопоставляемое

формальному, для которого «характерно неправомерное доминирование в сознании и памяти учащихся привычного внешнего (словесного, символического или образного) выражения математического факта над содержанием этого факта» (А. Я. Хинчин).

Прочность же усвоения математического факта значительно повышается усилением элемента эмоции при восприятии, вызываемым абсурдным утверждением формулировки софизма.

Упражнения в раскрытии софизмов не гарантируют от появления подобных же ошибок в самостоятельных рассуждениях учащихся, но дают возможность в случае появления ошибки скорее ее обнаружить и в ней разобраться. В педагогическом плане высказанная мысль реализуется в том, что математические софизмы, предлагаемые вниманию учащихся, должны, как правило, использоваться не столько для предупреждения ошибок, сколько для проверки степени сознательности усвоения и закрепления определенного материала. На этом положении базируется практика работы наших лучших учителей математики, использующих в некотором объеме материал софизмов на заключительном этапе упражнений по разделу и при повторении.

Ошибки же учащихся педагог предупреждает путем всестороннего рассмотрения изучаемых понятий в классе. Хорошее знание самим педагогом типичных ученических ошибок, причин их возникновения и материала математических софизмов способствует лучшему достижению этой цели. Степень подготовленности в этом направлении педагога ощутительно сказывается в подборе примеров, в выявлении всех существенных в пределах данного типа вариаций с целью предупреждения возникновения односторонних ассоциаций и неправильных обобщений.

Большинство педагогов сходится на том мнении, что при объяснении нового материала в подавляющей массе случаев следует избегать фиксации внимания учащихся на ошибках, еще только могущих возникнуть, чтобы не создавать ложных наглядных представлений.

Педагогически оправданное использование математических софизмов не исключает, а, наоборот, часто предполагает как предварительную стадию работы постановку вопросов в отвлеченной форме на мотивы поучительных ошибок. На эти вопросы ученик не находит готовых ответов в тексте учебника. Здесь от него требуется понимание сущности пройденного теоретического материала, самостоятельное

размышление и сознательное оперирование с известным запасом математических фактов. К числу таких вопросов относятся:

1. Когда равно единице?

2. Из того, что можно ли заключить, что и

3. Из равенства можно ли сделать вывод, что

4. При всех ли значениях к и у имеет место формула:

5. При любом ли действительном значении х справедливо тождество

6. Определить смысл знака V в записи положив а равным: , где и сделать обобщение.

7. При каких значениях х теряют смысл выражения:

8. Установить неправильность и исправить формулировку теоремы, взятую из одного учебника геометрии: «Прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному».

9. Может ли в прямоугольном треугольнике медиана, опущенная на катет, совпасть с биссектрисой?

Необходимое условие применимости того или иного мате матического софизма в обучении ученика состоит в наличии в распоряжении последнего предпосылок для раскрытия этого софизма. Несоблюдение этого необходимого условия не только полностью обесценивает применение софизмов но и делает их вредными: ученик, не имеющий возможности разобраться в существе вопроса, беспомощно хватающийся за внешние приемы, сводящий свою работу к простой догадке, теряет равгговесие, вырабатывает в себе черты нерешительности. Все это. конечно, не имеет ничего общего с задачей постепенного и настойчивого воспитания осторожности в утверждениях, как с осознанной потребностью разобраться в условиях вопроса и в средствах для его ответственного решения. Кстати, во всяком месте курса учитель должен быть вполне искренним с учеником, откровенно указывая

ему те логические пробелы своего изложения, которые являются следствием сознательного педагогического корректива.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление