Главная > Математика > Ошибки в математических рассуждениях
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

19. Делимость многочленов и делимость чисел.

Установив, что некоторое утверждение о свойстве чисел оказывается верным в ряде частных случаев, т. е. для ряда определенных чисел, мы отнюдь не можем быть уверены, что это утверждение окажется верным всегда: заключать о частного к общему можно лишь в виде предположения, догадки, которая в дальнейшем должна быть либо доказана, либо опровергнута. Но если такое доказательство проведено, то мы можем смело применять наше общее утверждение в каждом отдельном случае: заключение от общего к частному вполне законно. Так, уменьшая на единицу квадраты простых (первоначальных) чисел, больших 3, а именно чисел 5, 7, 11, 13, 17 и т. д., мы получим числа 24, 48, 120, 168, 288 и т. д., кратные 24. Естественно сделать догадку: не будут ли кратными 24 все числа вида где простое число? Представив в виде замечаем, что числа оба четные, причем одно из них даже четно-четное, т. е. делится не только на 2, но и на 4, а потому кратно 8. С другой стороны, из трех последовательных целых чисел одно непременно

кратно 3, а так как будучи числом простым, большим 3, не может быть кратным 3, то кратным 3 оказывается одно из чисел или а следовательно, и их произведение. Итак, каково бы ни было простое число всегда кратно Доказав это утверждение в общем виде, мы можем быть уверены, что оно окажется справедливым и в каждом частном случае, т. е. для всякого числа, удовлетворяющего поставленным условиям.

Положим, однако, что некоторое утверждение, доказанное в общем виде, оказывается неверным в каком-либо частном случае. Ясно, что здесь непременно имеет место какая-нибудь путаница или просто ошибка: либо общее утверждение, которое мы считали доказанным, на самом деле неверно, т. е. ошибка была допущена в доказательстве, либо неправильно само указание на то, что в данном случае наше общее утверждение не оправдывается.

Любопытный пример такого рода путаницы мы имеем в следующем рассуждении.

Возьмем двучлен , где произвольное натуральное (т. е. целое положительное) число; а произвольные, неравные друг другу, действительные числа, причем

Полагая и, имеем: а

Замечая, что делится на а, а делится на у — 1 (разность степеней всегда делится на разность оснований), заключаем, что

Таково общее доказанное нами утверждение. Применим его к частному случаю, когда

Имеем: и, следовательно, 19 делится на

В чем тут дело?

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление