Главная > Математика > Ошибки в математических рассуждениях
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

35. Об одном спэсобе получать правильные результаты, применение которого требует большой осторожности.

Как известно, всякая несократимая дробь у которой знаменатель содержит хотя бы один первоначальный множитель, отличный от 2 и 5, при обращении в десятичную дробь дает бесконечную периодическую дробь. Поставим себе обратную задачу: имея какую-нибудь бесконечную периодическую дробь, найти ту обыкновенную дробь, от обращения которой в десятичную она получилась. При этом ограничимся «чистыми» периодическими дробями, т. е. такими, у которых период начинается сразу после знака дробности.

Пусть дана, например, дробь т. е. чистая периодическая дробь с целой частью 0 и периодом 24. Обозначив величину этой дроби через х, возьмем равенство

и умножим обе его части на 100; получим:

Замечаем, что это последнее равенство можно переписать в новом конечном виде (бесконечное повторение периода исключено):

Мы получили уравнение первой степени, решение которого дает проверки обращаемое десятичную дробь и после деления 8 на 33 действительно получаем данную периодическую дробь

Этим способом можно обратить в обыкновенную дробь любую чистую периодическую дробь, но только умножать надо не всегда на 100: если в периоде цифр, то умножать надо на Для обращения в обыкновенную дробь «смешанной» периодической дроби, т. е. такой, у которой между знаком дробности и периодом находятся еще цифры, надо предварительно преобразовать смешанную дробь так, чтобы свести вопрос к обращению чистой периодической дроби. Например, если дана дробь то сначала умножаем обе части этого равенства на 10, а потом, получив

полагаем и находим и Проверка (делением 5 на 6) показывает, что задача решена правильно.

Характерной особенностью примененного нами метода было исключение бесконечного повторения периода.

Вот еще задача, где применяется аналогичный прием.

Надо найти предполагая, что действие извлечения квадратного корня повторяется неограниченное количество раз. Полагая возводим обе части эюго равенства в квадрат и убеждаемся, что после переноса числа 2 налево в правой части опять получается выражение, обозначенное нами через Делая замену, исключаем бесконечное множество корней и приходим к квадратному уравнению, из которого и определяем

Пригодным, разумеется, является лишь положительный корень. Итак, искомое выражение равно 2.

Правильность нашего утверждения легко проверить, произведя следующие вычисления:

Как видим, последовательность чисел

которую можно продолжать как угодно далеко, состоит из чисел, действительно приближающихся к указанному значению 2, как к своему пределу (насколько можно об этом судить по нашему небольшому вычислению, проведенному с точностью до тысячных).

Наш прием исключения бесконечного ряда повторяющихся операций в рассмотренных двух случаях привел к правильным результатам. Но рассмотрим еще одно применение этого приема.

Возьмем какое угодно положительное число а и обозначим буквой х сумму бесконечного множества слагаемых, равных а; затем производим исключение бесконечности и приходим к неожиданному заключению, что

Применение нашего приема исключения бесконечности привело здесь к противоречию между заключением и исходным условием

Вот еще пример: обозначив через х значение алгебраической суммы бесконечного множества слагаемых

имеем:

Ответ явно неверный, так как, находя суммы последовательно возрастающего числа слагаемых, мы получим ряд целых чисел:

не обнаруживающих никакого приближения к найденному нами числу -1. Итак, примененный нами способ устранения бесконечности, дающий иногда правильные результаты, иногда дает результаты явно неправильные, а потому его применение требует осторожности: необходимо выяснить, при каких условиях этот прием дает правильные результаты.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление