Главная > Математика > Ошибки в математических рассуждениях
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

52. Боковая поверхность круглого прямого конуса с радиусом основания r и высотой h выражается формулой P=pi*r(r+h).

Возьмем круглый прямой конус с радиусом основания и высотой и проведем в нем сечения плоскостями, перпендикулярными к оси конуса и отстоящими одна от другой на расстоянии где некоторое натуральное число. Каждое из полученных круговых сечений примем за верхнее основание цилиндра, имеющего высотой отрезок . Получим всего цилиидров, образующих в своей совокупности ступенчатое тело, вписанное в данный конус. Разрез конуса и этого ступенчатого тела по оси конуса представлен на чертеже 23.

Найдем боковую поверхность тела. Она состоит из суммы боковых поверхностей всех цилиндров и суммы площадей колец, остающихся на верхнем основании каждого цилиндра за вычетом площади, занятой нижним основанием ближайшего выше расположенного цилиндра; у самого верхнего цилиндра верхнее основание надо взять целиком.

Черт. 23

Установив из подобия треугольников, что радиус основания нижнего цилиндра равен второго снизу третьего снизу и так далее — до самого верхнего, у которого радиус основания равен легко находим, что сумма боковых поверхностей всех цилиндров равна:

или

или

Что касается площадей колец, то их сумма равна площади основания нижнего (самого большого) цилиндра, т. е. Для боковой поверхности ступенчатого тела получаем формулу:

или, после упрощений:

Замечая, что при неограниченном увеличении числа ступенчатое тело будет приближаться к конусу, как к пределу, находим для боковой поверхности Р конуса формулу, указанную в заголовке:

Но эта формула существенно отличается от той, которая выводится в любом курсе геометрии где образующая конуса), так как сумма отрезков являющихся катетами прямоугольного треугольника, всегда больше его гипотенузы

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление