Главная > Математика > Ошибки в математических рассуждениях
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

67. Об одном доказательстве теоремы о сумме внутренних углов треугольника.

Возьмем произвольный треугольник и совершим обход по его периметру из вершины А через вершины и С снова в А. Представим себе, что, совершая этот обход, я держу перед собой руку, вытянув ее по направлению своего движения. Двигаясь от до В, я сохраняю направление руки неизменным. Достигнув вершины В, я вращаю руку против часовой стрелки на угол (черт. 42). Далее, при движении от В до С направление руки снова остается неизменным. В точке С рука делает новый поворот — на угол Затем при движении от С до направление руки

не меняется и, наконец, в А рука делает последний поворот — на угол Обход закончен, я вернулся в исходную точку, рука вернулась в исходное положение — она вновь направлена от А к В. Во время своего обхода рука совершила один полный оборот, т. е. повернулась на 360°.

Черт. 42

Но этот полный оборот является суммой трех поворотов, а именно на углы которые являются внешними для данного треугольника Итак,

Но каждый из внешних углов можно заменить разностью между 180° и соответствующим внутренним углом. Поэтому имеем:

где внутренние углы треугольника Раскрывая скобки и делая приведение подобных членов, приходим к равенству:

Это простое и понятное доказательство не опирается ни на какие теоремы геометрии, кроме теоремы о сумме двух смежных углов, в частности, не ссылается на теоремы о параллельных прямых и не зависит, следовательно, от аксиомы о параллельных. Это обстоятельство было бы огромным преимуществом нашего доказательства, если бы только в ходе доказательства мы не опирались незаметным образом на некоторую новую аксиому.

В том, что это так, мы убеждаемся в силу следующего соображения. Возьмем сферу и на ней три точки притом так, чтобы дуги больших кругов сферы равнялись бы каждая 90° (можно за точку принять Северный полюс, точки взять на экваторе). Все приведенное выше рассуждение, доказывающее, что сумма внутренних

углов плоского треугольника равна применимо без каких бы то ни было изменений и к нашему сферическому треугольнику надо только иметь в виду, что под направлением дуги на сфере разумеют направление касательной к этой дуге (в рассматриваемой точке). Итак, наше рассуждение доказывает, что и сумма внутренних углов сферического треугольника равна 180°. Но это неверно, так как каждый из внутренних углов взятого нами сферического треугольника равен 90°, а их сумма, следовательно, равна 270°.

Обходя сферический треугольник с рукой, вытянутой по направлению движения, и вернувшись в исходное положение, мы совершим рукой, таким образом, поворот не на 360°, как в случае обхода плоского треугольника, а на другой угол. Утверждая, что после обхода плоского треугольника и возвращения к исходному положению мы имеем поворот на 360°, мы высказываем не что-то само собой разумеющееся и верное при всяких условиях, а основываемся на следующем свойстве плоскости, которого не имеет сфера: обход всякого треугольника на плоскости связан с поворотом на 360°. Принимая это свойство плоскости за очевидное, мы и вводим новую аксиому.

Итак, утверждение, что мы доказали теорему о сумме внутренних углов треугольника, не пользуясь ни аксиомой о параллельных, ни некоторой новой аксиомой, является ошибочным. Еще более ста лет назад наш гениальный геометр Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) доказал, что невозможно устранить из нашей (евклидовой) геометрии аксиому о параллельных, не вводя взамен нее некоторую другую аксиому.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление