Главная > Математика > Ошибки в математических рассуждениях
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

81. Сколько цифр надо знать в подкоренном числе, чтобы получить корень с заданной точностью?

Положим, что мы желаем вычислить значение по формуле , причем ставим себе задачей получить это значение с четырьмя десятичными знаками. С какой точностью необходимо извлечь чтобы обеспечить при втором извлечении квадратного корня (из требуемую точность результата? Часто рассуждают так: для получения каждой следующей цифры квадратного корня нужна новая грань из пары цифр подкоренного; следовательно, для получения четырех цифр после запятой в значении корня из в этом последнем числе необходимо иметь цифр после занятой. Руководствуясь этим соображением, извлекают корень из 3 с восемью десятичными знаками и, получив находят после этого вычисляют и, наконец,

Как показывает справка в таблице синусов, все четыре десятичных знака полученного результата верны. Но тот же самый результат дает и следующее вычисление, требующее значительно меньше выкладок:

Этот пример наводит на мысль, что для получения каждой лишней цифры в значении квадратного корпя нет надобности знать целую лишнюю грань, т. е. две лишние цифры в

подкоренном числе. И действительно, не трудно доказать целесообразность такого правила: при извлечении квадратного корня из приближенного числа, имеющего значащих цифр, надо брать в корне тоже значащих цифр. Последняя цифра полученного корня будет при этом или вполне точна, или отлична от точной на одну единицу. Поэтому для получения квадратного корня с значащими цифрами, подкоренное число достаточно брать тоже с значащими цифрами (или, если желательно иметь полную гарантию точности последней цифры, то с значащей цифрой).

Рассмотрим еще пример. Пусть требуется найти значение с точностью до сотых долей. Замечая, что корень содержит лишь одну цифру в целой части, видим, что его значение надо найти с тремя значащими цифрами (цифра целых единиц, цифры десятых и сотых долей). Поэтому и число достаточно взять с тремя значащими цифрами,

т. е. в виде 28,3. Извлекая корень из этого последнего числа, имеем окончательный результат 5,32. Для проверки найдем тот же корень другим способом, а именно, сводя вопрос к извлечению корня из целого числа:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление