Главная > Математика > Ошибки в математических рассуждениях
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

82. Зачем освобождаются от иррациональности в знаменателе?

Нередко необходимость освобождения от иррациональности в знаменателе дробного выражения объясняют тем, что благодаря этому достигается повышение точности. Так, в пользующейся известностью книге Шмулевича П. И. «Дополнения к курсу алгебры, требуемые программами конкурсных экзаменов» (изд. 10, 1917 г.) мы находим утверждение, что, вычисляя корень до мы получим численное значение выражения раз точнее, если предварительно преобразуем это а выражение к виду

Действительно ли это так?

Рассмотрим пример. Пусть где и надо найти значение х, извлекая корень с точностью до десятых. Подставляя числовые значения непосредственно, имеем Применяя предварительное уничтожение иррациональности в знаменателе, получаем

Сравнивая оба найденных приближенных значения с более точным, равным убеждаемся, что первое из них (0 имеет погрешность по недостатку, второе же -погрешность по избытку. Как видим, вопреки утверждению, в книге уничтожение иррациональности в знаменателе отнюдь не повысило точность в раз, а даже немного ее понизило.

Легко показать, что при замене корней их приближенными значениями, отличающимися от точных их значений меньше чем на — долю единицы, мы получим значение выражения с погрешностью, не больше чем а значения выражения погрешностью, не большей Эти границы погрешности при равны, что и подтвердил только что рассмотренный пример. При вторая граница погрешности меньше первой, но не в раз, как утверждает книга, а лишь в При вторая граница больше первой.

Рассмотрим еще пример. Пусть требуется найти значение выражения при имея в своем распоряжении четырехзначную таблицу квадратных корней. Таблица дает и, делая подстановку непосредственно в данное выражение, мы получим Если же предварительно преобразовать данное выражение, уничтожая (посредством умножения числителя и знаменателя на иррациональность в знаменателе, то получим:

В то время как первое вычисление дало значение х с четырьмя десятичными знаками второе дало его лишь с одним, т. е. значительно менее точно.

Как видим, уничтожение иррациональности в знаменателе далеко не всегда повышает точность результата вычисления, а иногда даже понижает ее.

Зачем же тогда ведут эту «борьбу с иррациональностями в знаменателе»?

Дело в том, что вычисление производится в громадном большинстве случа в значительно удобнее, если в знаменателе нет корней, чем в тех случаях, когда там корни имеются.

Например, для вычисления мы должны произвести деление на многозначное приближенное значение корня, а после уничтожения иррациональности в знаменателе деление выполняется гораздо проще Попробуйте упростить выражение:

сначала уничтожив предварительно корни в знаменателе каждой дроби, а затем не прибегая к этому приему, и польза «борьбы с иррациональностями в знаменателях» станет вполне очевидной. Не надо, однако, думать, что вести эту борьбу надо всегда. Во многих вопросах высшей математики (при разыскании пределов, при интегрировании иррациональностей и т. д.) нередко приходится делать обратное: уничтожать иррациональности в числителе, переводя их в знаменатель. Вот простой пример. Надо установить, что делается с разностью

при неограниченном возрастании х, т. е. вычислить

Из элементов теории пределов, изучаемой в курсе алгебры IX класса, известно: предел разности двух переменных, имеющих пределы, равен разности их пределов.

Легко видеть, что в этом примере нельзя применить теорему о пределе разности, так как пределов уменьшаемого и вычитаемого не существует (выражение просто не имеет никакого смысла).

Однако мы легко справимся с поставленной задачей, если воспользуемся следующими преобразованиями выражения, находящегося под знаком предела:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление