Главная > Разное > Шумы в электронных приборах и системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.8. Тепловой шум

У резистора, который находится в тепловом равновесии со своим окружением, на концах появляются флуктуации либо напряжения (при разомкнутом контуре), либо тока (при короткозамкнутом контуре). Этот шум впервые наблюдал Джонсон [9] и поэтому его обычно называют шумом Джонсона или тепловым шумом. Это явление аналогично броуновскому

движению, статистические свойства которого были описаны Эйнштейном [8] за двадцать лет до исследований Джонсона. Анализ Эйнштейна основан на модели случайного блуждания и показывает, что средний квадрат перемещения броуновской частицы пропорционален времени наблюдения.

Электроны в резисторе обладают тепловой энергией и передвигаются в материале случайным образом, испытывая в процессе движения соударения с атомами кристалла. Случайные движения вызывают тепловой шум. Флуктуации можно истолковать как результат очень большого числа независимых случайных «событий». Каждое событие состоит из начальной стадии, когда происходит отклонение от состояния равновесия, и из релаксации к этому состоянию. Начальная стадия — это пробег электрона между столкновениями, который порождает неравновесное распределение заряда в резистивном материале, а релаксация — это последующее изменение заряда, восстанавливающее состояние равновесия. Явления, происходящие в событии, приводят к возникновению импульса тока или напряжения на клеммах, и суперпозиция всех таких импульсов есть флуктуация теплового шума. В соответствии с этой моделью тепловой шум является еще одним примером последовательности случайных импульсов.

Описание отдельного электронного события, данное выше, неточно отражает микроскопическое поведение электрона в резистивном материале, но при усреднении по большому числу таких событий получают точные статистические характеристики шумовых процессов на выходе. Более того, идея начальной стадии, сменяющейся релаксацией, помогает в понимании роли тепловых флуктуаций в диссипативной системе: они поддерживают тепловое равновесие системы, гарантируя в среднем возвращение к этому состоянию при любом отклонении от него.

Статистические характеристики шума Джонсона можно получить из одномерной модели резистора площадью поперечного сечения А и длиной Прежде всего для этого нужно знать форму импульса (или ее фурье-преобразование) на клеммах в результате единичного события, состоящего из пробега электрона между столкновениями длины и последующей релаксации заряда. Теперь начальную стадию можно наглядно представить как мгновенное появление двух заряженных плоскостей с плотностью заряда на расстоянии Если предположить, что концы резистора разомкнуты, получим, что

заряд тогда должен спадать вследствие обратного потока между заряженными пластинами. Эквивалентная схема для модели события показана на рис. 2.4, где соответственно сопротивление и емкость области между заряженными пластинами; объемное сопротивление прибора, а генератор тока представляет начальную стадию.

Рис. 2.4. Эквивалентная схема единичного «события» в резисторе с клеммами

В терминах импульса напряжения на клеммах в результате единичного события уравнение движения по рис. 2.4 имеет вид

где Применяя преобразование Фурье к обеим частям уравнения (2.52), находим, что преобразование импульса напряжения описывается выражением

где время диэлектрической релаксации; удельное сопротивление и относительная проницаемость материала. В электронике, как правило, чрезвычайно мало порядка пикосекунд.

Выражение (2.53) — это фурье-преобразование импульса напряжения на клеммах, возникающего в результате единичного

события в резисторе. Его обратное преобразование, функция формы импульса, представляет собой спадающую экспоненту с постоянной времени, равной Так как вероятности обнаружить положительные и отрицательные значения равны, среднее значение флуктуаций на клеммах равно нулю. Если в выражении (2.41) для теоремы Карсона величину приравнять величине из формулы (2.53), то получим спектральную плотность флуктуаций напряжения на клеммах

где v - среднее число событий в секунду внутри объема резистора. Теперь, если плотность электронов в материале и среднее время свободного пробега между соударениями, то

Этот результат вытекает из дополнительной теоремы для распределения Пуассона (приложение 3). Мы также имеем, что

где подвижность. Подробное рассмотрение на основе представлений статистической механики, приведенное в приложении 3, показывает, что подвижность можно выразить как

где константа Больцмана, абсолютная температура. Объединяя выражения (2.54) — (2.57), получают спектральную плотность флуктуаций напряжения разомкнутого контура

а из простого преобразования схемы следует, что спектральная плотность флуктуаций тока в короткозамкнутом контуре равна

Для всех частот, представляющих практический интерес, член пренебрежимо мал. Два выражения (2.58) и (2.59) в таком случае переходят в соответственно, т. е. имеем классические формулы, полученные впервые Найквистом [16] на основе второго закона термодинамики и предпосылки о равномерном распределении энергии между резистивными элементами в равновесии. Эти две формулы, известные под названием теоремы Найквиста, рассматриваются в дальнейшем в приложении 2.

Автокорреляционные функции флуктуаций напряжения и тока теплового шума следуют непосредственно из формул (2.58) и (2.59), если применить теорему Винера — Хинчина. Например, автокорреляционная функция флуктуаций напряжения описывается формулой

Экспоненциальный вид этого выражения характерен для процесса релаксации. Значение среднего квадрата, получаемое из выражения (2.60), есть величина которая становится бесконечно большой, если время релаксации становится бесконечно малым. В этом приближении тепловой шум является импульсным процессом.

Говорят, что диссипативные системы необратимы по крайней мере для времен, больших времен релаксации. Эйнштейн установил, что при сохранении состояния равновесия такие системы обычно становятся источниками случайных флуктуаций в некотором присущем им параметре. Таким образом, тепловой шум — это внутренне присущее и неустранимое свойство резистивных материалов и часто принципиально является тем пределом, ниже которого нельзя ослабить шумы в электронном приборе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление