Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Приложение I МЕТОД ПЕРЕВАЛА

Метод наискорейшего спуска, называемый также дебаев-ским методом перевала, излагается в большинстве курсов математической физики. Изложим основные положения этого метода, с тем чтобы они находились под рукой.

Рассмотрим интеграл типа

где без потери общности будем считать вещественной и положительной величиной, а функции аналитическими в некоторой области изменения комплексного переменного содержащей контур интегрирования с. Будем интересоваться асимптотическим значением при

Положим где вещественные функции Теперь запишем экспоненциальную часть подынтегрального выражения в виде

Вклад экспоненциального множителя подынтегрального выражения в порождается частью контура с, в которой достигает относительного максимума (очевидно, что если аналитическая функция, то не могут достигать абсолютного максимума или абсолютного минимума), если только осцилляции, вызванные в нем членом не уничтожают вклад Поэтому ясно, что мы должны

сперва найти на контуре точки, в которых достигает относительного максимума, и деформировать контур с в окрестности каждой из этих точек таким образом, чтобы вдоль этого деформированного пути функция была постоянной; это исключит частую смену знака экспоненциального множителя.

Стационарные точки функции задаются уравнением

Пусть — один из корней (1.3), и пусть путь, проходящий через точку и деформированный так, что достигает относительного максимума при остается постоянной вдоль контура Таким образом, если 2 — точка в окрестности то выберем так, чтобы на нем

По теореме Тейлора мы можем разложить в окрестности в ряд

так как в силу (1.3).

Выбрав достаточно близким к мы можем, не совер существенной ошибки, приближенно положить

что с учетом (1.4) приводит к выражению

Таким образом, правая часть (1.6) также вещественна. Теперь положим в выражении (1.5)

где фиксированная точка, и а — постоянные. Отсюда

Принимая во внимание (1.4), получим вдоль

Рис. 1. 1. Разделение плоскости в окрестности на четыре области, в которых На рисунке показаны также прямые, на которых постоянна.

Подставляя это значение 0 в (1.7), получаем

Уравнения (1.12) и (1.13) описывают на плоскости две прямые линии, проходящие через и образующие с вещественной осью углы Аналогично причем т. е. . Подставляя эти значения в (1-7), получаем две прямые, проходящие через точку и образующие с вещественной осью углы

Прямые ( и (1.15) делят плоскость в окрестности точки на четыре сектора, в которых попеременно как показано на рис. 1.1.

Так как между двумя смежными нулями косинуса лежит один и только один нуль синуса, в каждом секторе имеется одна и только одна прямая, на которой постоянна. Эти прямые проведены также на рис. а на рис. 1.2 изображена поверхность уравнение которой определяется зависимостью от точка на соответствует точке 20. Точки поверхности соответствующие точкам 2 в секторах II и IV, например, лежат ниже в то время как точки соответствующие секторам II и III, расположены выше Таким образом, мы можем мысленно сравнить с конским седлом (отсюда происходит название метода: метод седловых точек).

Рис. 1.2. Поведение функции в окрестности седловой точки

Теперь очевидно, как выбрать путь проходящий через вдоль которого должно быть выполнено интегрирование таким образом, чтобы получить наибольший вклад в на участке пути наименьшей длины: будет иметь относительный максимум в точке если лежит в секторах II и IV. Так как мы требуем, чтобы вдоль функция была постоянной, то путь должен проходить вдоль линий, на которых Очевидно поэтому, что со проходит вдоль прямой Теперь мы покажем, что производная функции в точке вдоль прямой будет максимальна. Выпишем производные от в точке вдоль направления, образующего угол с вещественной осью

Экстремальные значения определяются условием т. е. направлением 0, задаваемым уравнением

и, следовательно,

В этом направлении в силу условий Коши — Римана

Итак, желаемый результат доказан; достигает максимального значения на направлении 0, вдоль которого постоянна. Таким образом, вдоль линии величина имеет наибольший из всех возможных наклонов. Благодаря этому свойству метод получил название «метод наискорейшего спуска».

Мы можем легко обобщить этот метод на случай учета членов более высокого порядка в разложении (1.5). Однако теперь пути, вдоль которых постоянна, будут кривыми, касательными к которым в седловой точке являются прямые Переписав ( в виде

где

мы обнаружим, что -вещественная положительная величина, поскольку (1.19) фактически означает, что , так как мнимая часть постоянна вдоль пути а в точке функция имеет относительный максимум. Вещественная переменная при переходе через вдоль пути со меняет знак. Подставляя из (1.7) и из (1.8) в (1.20), получаем

так что

Поэтому из формул (1.7) и (1.21) имеем

или

где нам надлежит брать только один из двух знаков для всех точек контура (см. замечания после формулы (1.26)). Подставляя из (1.19) в (1.1), получаем

где — путь наискорейшего спуска. Если положительно и велико, то основной вклад в дает интервал где мало, поскольку при больших подынтегральное выражение экспоненциально убывает. Поэтому мы совершим пренебрежимо малую ошибку, если заменим интеграл по контуру

в окрестности точки интегралом от до В результате получим

так что при больших

В интервале можно выбрать два возможных значения 0, различающихся на . В любом конкретном случае мы должны решить, исходя из поведения вещественной и мнимой частей в каком направлении проходит путь интегрирования через седловую точку. Если мы выберем значение 0, при котором положительно в точках после прохождения через то следует взять в (1.22) знак плюс при условии, что меняется от до вдоль пути интегрирования. Заметим, что асимптотическое разложение (1.25) надо понимать в смысле Пуанкаре; мы говорим, что является асимптотическим представлением функции если для любого целого положительного

независимо от того, сходится или нет ряд . Частичные суммы этого ряда представляют достаточно точно, если велико, поскольку

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление