Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2. Эффект нелинейности

Для изучения эффекта нелинейности решим уравнения из разд. 2.1 при одинаковых начальных условиях. Начальные данные намеренно выбраны настолько простыми, чтобы физические факты не утонули в сложных математических выражениях.

2.2.1. Решение уравнения I(a)

Это уравнение линейно, и, используя метод Лагранжа, можно сразу написать его общее решение:

где произвольная функция. Соотношение (2.1) описывает волну, движущуюся со скоростью с в положительном направлении оси

Конкретизируем теперь принимая следующее начальное условие:

где Соотношение (2.2) описывает параболический импульс, распределенный на отрезке . С учетом условий (2.2) решение (2.1) принимает вид

(кликните для просмотра скана)

Переходя к движущейся системе координат, определяемой соотношением

перепишем это решение в следующей удобной форме:

Решение (2.5) не зависит явно от времени и поэтому называется стационарным. В настоящей главе мы будем рассматривать большей частью только такие стационарные решения. На рис. 2.1 показано распространение (эволюция) начального параболического импульса по Решение (2.5) описывает такой же импульс, что и начальный, центр которого за время сдвигается на в положительном направлении оси Мы отразим этот факт, говоря, что решения уравнения представляют собой волны, движущиеся без изменения формы со скоростью с в положительном направлении оси

2.2.2. Решение II(а)

Для изучения эффекта нелинейности решим уравнения при начальном условии (2.2). Характеристическое уравнение для уравнения имеет вид

так что вдоль характеристики

и сохраняется и общее решение уравнения таково:

где произвольная функция.

На рис. 2.2а и 2.2б сравниваются характеристики для уравнения и в плоскости Заметим, что характеристики уравнения образуют семейство параллельных прямых с наклоном к оси в то время как характеристики уравнения в общем случае образуют семейство пересекающихся прямых. Вдоль каждой характеристики последнего семейства и остается определенной постоянной величиной, и наклон характеристики определяется соответствующим постоянным значением .

Нашу основную идею можно кратко сформулировать так: волна, описываемая гиперболическим уравнением, распространяется с конечной скоростью. В этом смысле мы можем рассматривать каждую характеристику в плоскости как движущуюся элементарную волну, и свойство волны,

остающееся постоянным вдоль индивидуальной характеристики, как некоторое количество информации, которую волн несет с собой. В этом смысле уравнение описывает систему элементарных волн, движущихся с одинаковой постоянной скоростью с, а постоянное значение и, связанное с характеристикой, представляет определенную информацию, которую волна несет с собой.

Рис. 2.2а. Характеристики уравнения

Рис. 2.2.6. Характеристики уравнения

Аналогично уравнение описывает систему элементарных волн, движущихся с различными скоростями. Элементарная волна, которая переносит большее значение и, движется быстрее.

Чтобы изучить влияние нелинейности на распространение волнового профиля, найдем решение уравнения удовлетворяющее начальному условию (2.2). При начальном условии (2.2) решение (2.8) имеет вид

где

Разрешая (2.9) явно относительно и, имеем

Когда мало для удовлетворения начальному условию нужно брать только верхний знак перед радикалом в (2.11). Когда (Т еще нужно определить), при в (2.11) допустимы оба знака.

Рис. 2.3. Характеристики уравнения с начальными условиями (2.2).

На рис. 2.3 изображены характеристики с начальным условием (2.2) в плоскости при Этот рисунок весьма поучителен как графическое изображение распространения элементарных волн, исходящих из разных точек оси в момент времени Все элементарные волны, исходящие из точек где рано или поздно пересекают характеристики, исходящие из точек где . В точке пересечения двух характеристик получаются два значения и. Ясно, что такая ситуация физически неприемлема. Следовательно, если в этом случае нас интересует единственное ограниченное решение, то мы должны ввести понятие слабого решения, допускающего движущиеся разрывы. В гидродинамике такие разрывы называются ударными волнами. Из рис. 2.3 также очевидно, что точки все время остаются неподвижными.

На рис. 2.4 показано распространение импульса (2.2) при Когда растет, профиль и все более и более деформируется. Отсюда мы заключаем, что нелинейность приводит к прогрессирующей деформации начального профиля волны.

Определим теперь Т в этом частном случае. Начальный профиль имеет как положительный, так и отрицательный наклоны. В частности, при наклон отрицателен:

Ясно, что функция при а может быть неоднозначной только тогда, когда Минимальное значение для которого выполняется это неравенство, и есть наше Т.

Рис. 2.4. Распространение параболического импульса, описываемого уравнением для

Кроме того, может переходить от отрицательных значений к положительным только через бесконечность. Далее из (2.11) имеем

Предыдущие рассуждения легко распространить на профили импульсов более общего вида, чем было принято в (2.2). Пусть начальный профиль задан следующим образом:

где -непрерывно дифференцируемая функция с положительным и отрицательным наклонами.

Решение уравнения при условии (2.15) дается формулами

где — пространственная координата, движущаяся со скоростью и (которая сама является функцией от и I). Роль подобна роли лагранжевой координаты в лагранжевом описании движения сплошной среды. При имеем Беря частную производную (2.16) по получаем так что

Это соотношение выражает наклон профиля и в точке через наклон начального профиля при здесь координата в момент времени точки, которая в начальный момент имела координату Если то бесконечна при Поэтому если начальный профиль имеет отрицательный наклон в некоторой точке то при решение перестает быть однозначным в окрестности точки где точка, в которой достигает минимального значения. Попытаемся найти изменения наклона профиля импульса на характеристике когда проходит значение Т. Пусть -положение характеристики элементарной волны в произвольный момент Мы хотим найти для значений

где мало; тогда

Итак, имеем

как указано выше.

2.2.3. Роль нелинейности

Таким образом, мы заключаем, что в случае уравнений типа из разд. 2.1:

Линейные волны распространяются без изменения профиля. Роль нелинейности заключается в том, что она приводит к деформации волнового профиля, возрастающей с ростом По истечении некоторого времени физический смысл имеет решение, содержащее движущиеся разрывы. Мы назвали такое решение слабым решением.

Заметим, что, применяя метод Фурье к линейному уравнению мы получим дисперсионное соотношение так что и фазовая, и групповая скорости равны с. В случае

нелинейного уравнения мы не можем применять метод Фурье и поэтому не можем говорить о волновом числе, частоте, скорости волны, групповой скорости до тех пор, пока не укажем метод их определения. К этому вопросу мы вернемся в гл. 5.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление