Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.3. Диссипирующие волны

Теперь мы исследуем уравнения с точки зрения влияния второй производной Это сравнительное изучение укажет также на влияние диссипации, производимое этим членом на деформацию волнового профиля, вызванную нелинейностью. В гидродинамике нелинейный член представляет собой конвективный член, член со второй производной — силу вязкости. Таким образом, наше исследование вскроет конкуренцию между нелинейной конвекцией, увеличивающей крутизну профиля (в области «поджатия» импульса), и вязкой диссипацией, за счет которой профиль расплывается.

2.3.1. Решение уравнения I(b)

Полагая в уравнении

получаем дисперсионное соотношение

Следовательно, согласно нашему определению, введенному в гл. 1, это уравнение описывает диссипирующую волну. Таким образом, волна, описываемая уравнением является также диссипирующей в соответствии с соглашением, принятым ранее в этой главе. Из (2.19) мы имеем

так как мы выбрали

Учитывая (2.19), волновой профиль (2.18) можно представить выражением

которое описывает гармоническую волну с волновым числом скоростью с и амплитудой, экспоненциально затухающей со временем. Характерное время затухания равно

При фиксированном величина убывает с ростом Поэтому короткие волны затухают быстрее, чем длинные. Таким образом, по истечении достаточно большого времени «выживут» только длинноволновые возмущения. Аналогично

при фиксированном величина убывает с ростом следовательно, волны заданной длины затухают быстрее в среде с большим значением . В этом смысле можно рассматривать как меру диссипации. Из уравнения (2.21) можно определить фазовую скорость

2.3.2. Решение уравнения II(b)

В настоящей главе мы интересуемся стационарными решениями и поэтому будем искать стационарное решение уравнения Бюргерса в виде

Подставляя (2.24) в получаем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

интегрирование которого дает

где А — постоянная интегрирования. Запишем теперь (2.26) в виде

— корни уравнения

Смысл нижнего индекса и верхних индексов и будет ясен, когда мы рассмотрим поведение решения при Чтобы обеспечить вещественность корней предположим, что

Интегрируя (2.27), получаем

где постоянная интегрирования выбрана из условия из которого следует

Таким образом, решение (2.31) соединяет два асимптотических состояния при при с помощью непрерывно изменяющихся состояний. Из (2.28) имеем выражение

которое для данной задачи, очевидно, является соотношением Рэнкина — Гюгонио. Следовательно, на языке гидродинамики решение (2.31) описывает структуру ударной волны. Для сравнения мы приводим ниже стационарное решение линеаризованного уравнения Бюргерса:

Следовательно, единственным ограниченным стационарным решением уравнения (2.35) является постоянное состояние. Таким образом, линеаризованное уравнение Бюргерса не допускает решения, соединяющего два однородных состояния множеством непрерывно изменяющихся состояний. Отсюда мы делаем вывод, что

Нелинейность уравнения Бюргерса позволяет гладко соединить два асимптотически однородных состояния с помощью непрерывно изменяющихся состояний.

Ранее отмечалось, что при наличии области отрицательного наклона у профиля импульса решение уравнения (в котором отсутствует член имеет участки с весьма крутым наклоном, даже если начальный профиль не имел таких участков. Напротив, нетрудно показать, что наличие члена со второй производной не только предотвращает образование очень больших градиентов, но на самом деле сглаживает любой начальный разрыв (Лайтхилл [1956, разд. 7.3]).

Отсюда мы делаем вывод, что член второго порядка в уравнении Бюргерса не допускает появления крутых наклонов профиля волны. Итак, член второго порядка стремится нейтрализовать влияние нелинейности в области сжатия и сгладить разрывы.

Обозначим через значение при котором и и через значение при котором и где а — малая положительная величина. Тогда, из (2.31) имеем

Из уравнения (2.38) роль параметра очевидна. Когда то так что при переходе отий к функция терпит разрыв. Таким образом, параметр стремится размыть разрыв в профиле и, который стремится образовать нелинейность. Имея в виду это свойство, мы говорим, что волна является диссипирующей и есть мера диссипации. Действительно, на гидродинамическом языке соотношение (2.38) есть мера толщины ударной волны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление