Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.4. Диспергирующие волны

Чтобы выяснить роль члена, содержащего третью производную по в уравнении по отношению к нелинейному члену, сопоставим уравнения Ради простоты ограничимся случаем Однако заметим, что в то время как нелинейное уравнение

с помощью преобразования всегда может быть преобразовано к уравнению

мы не можем одновременно преобразовывать линейное уравнение к уравнению с

2.4.1. Решение I(с)

Применяя метод Фурье к линейному уравнению получаем следующее дисперсионное соотношение: Таким образом, со является действительной функцией и мы можем обычным способом определить фазовую и групповую скорости:

Поскольку волна будет диспергирующей.

2.4.2. Решение уравнения КдФ

Рассмотрим сначала линеаризованное уравнение Киххх для которого дисперсионное соотношение имеет вид Поскольку волна будет диспергирующей. Отыщем теперь стационарное решение уравнения КдФ, задав его в виде

Подставляя (2.39) в получим

Интегрируя его, придем к уравнению

Умножая последнее уравнение на и интегрируя, получаем

Перепишем его в виде

тогда, интерпретируя и и как пространственную и временную координаты, мы сможем рассматривать уравнение (2.43) как уравнение сохранения энергии движения частицы единичной массы в поле потенциала или же как уравнение ангармонического осциллятора. При определенных условиях уравнение (2.43) может описывать периодическое движение, совершающееся между двумя смежными вещественными нулями функции где Такая интерпретация дает нам эффективный подход в изучении уравнения (2.42). Функция кубический полином и имеет три корня. Сначала Заметим, что если является его корнем, то будет решением уравнения (2.43), описывающим состояние покоя. В дальнейшем мы будем изучать решения, описывающие непостоянные ограниченные движения. Очевидно, мы должны рассмотреть два случая: (1) когда только один корень вещественный и (2) когда все три корня вещественны.

Случай (1). Рисунок 2.5 дает ориентировочную картину изменения в зависимости от и, когда имеется только один вещественный корень при Из рис. 2.5 ясно, что когда когда и поэтому для вещественных решений мы должны рассматривать интервал . В этой области имеем

Заметим в первую очередь, что если то состояние не может быть достигнуто на конечном расстоянии. Поэтому мы положим Теперь решение рассматриваемого уравнения существует и достигает значения при Так как остается положительным при и стремится к при то решение оказывается неограниченным.

Случай (2). Теперь рассмотрим случай, когда все три корня у функции вещественны. Не теряя общности, мы можем задать такой порядок величин: а Рисунок 2.6 дает приблизительную картину изменения функции когда все корни различны (кривая А), когда (кривая В) и когда (кривая С).

Рис. 2.5. Приблизительный график функции когда она имеет только один вещественный корень.

Кривая В касается оси в точке , а кривая С касается оси в точке . Далее для определения значений параметров в выражении для используются следующие выражения:

Выражая через корни получаем

Поскольку решение должно быть вещественным и ограниченным, мы должны ограничить и между и а для кривой А и между и а для кривой В.

Рис. 2.6. Приблизительный график функции когда все три корня вещественны: А) корни различны (кноидальная волна); В) (уединенная волна); С) (постоянное решение ).

Для кривой С допустимы значения и у, но в этом случае, как и в случае (1), ограниченное решение невозможно. Однако обсуждение случая, когда оказывается особенно интересным.

Начнем с вывода достаточных условий, при которых имеет три вещественных корня. Легко проверить, что

поэтому если вещественны, то

Теперь заметим, что достигает положительного максимума между и отрицательного минимума между у и . Предельные значения достигаются приы Поэтому

Соотношения (2.46) — (2.48) дают требуемый ряд условий, которые обеспечивают вещественность нулей функции

Рассмотрим теперь последовательно все три указанных выше случая более подробно.

Случай А: различны. Из уравнений (2.42) и (2.45) имеем

Полагая приведем написанное выше уравнение к виду

Если теперь в последнем уравнении сделать замену то оно примет следующую форму:

Из введенного выше порядка нулей ясно, что . Как упоминалось выше, и а. Из (2.52) следует, что соответствует в то время как соответствует Поэтому, выбирая при получаем

где эллиптические функции Якоби функция, обратная к Из (2.536) получим период Р функции по координате

где полный эллиптический интеграл первого рода. Заметим, что в этом случае ограниченное решение уравнения КдФ описывает периодическую волну, период которой может быть определен. Из-за наличия функции в выражении соответствующая волна называется кноидальной.

Случай а. Здесь и должно быть заключено между у и а, поскольку решение должно быть ограниченным и вещественным. Из уравнений (2.42) и (2.45) при получим

что после интегрирования дает

Максимум и перемещается и определяется из условия равенства нулю переменной

Период волны Р задается выражением (2.55):

При из (2.57) получаем Таким образом, означает однородное состояние при Мы можем обозначить а — у через а и интерпретировать а как амплитуду волны. Поэтому предпочтительней записать (2.57) в виде

Сделаем следующие важные замечания о полученном решении:

1. Скорость волны относительно однородного состояния в бесконечности пропорциональна амплитуде а. Это обусловлено эффектом нелинейности волны.

2. Ширина волны, равная обратно пропорциональна квадратному корню из амплитуды.

3. Ширина волны пропорциональна квадратному корню из роль К заключается в расплывании волны. Дисперсия нелинейной волны проявляется в расплывании волны.

4. Амплитуда не зависит от однородного состояния при

В бегущей волне, представляемой уравнением (2.60), переход от состояния покоя при к состоянию покоя при локализуется в окрестности как показано на рис. 2.7. Мы будем называть такой процесс уединенной волной.

Рис. 2.7. Профиль уединенной волны, приближающийся к постоянным состояниям при и локализованной вблизи

Случай С: Здесь если и у, и нетрудно показать, что в этом случае ограниченное решение невозможно. Мы рассмотрим случай, когда , но не равно строго а. Так как теперь то из случая А мы сразу получим соотношение

которое в пределе стремится к постоянному значению период

Таким образом, мы рассматриваем случай а как предельный случай синусоидальной волны с конечным периодом, заданным выражением (2.62).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление