Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.6. Некоторые другие уравнения эволюции, порождающие солитоны

Имеются также другие уравнения эволюции, допускающие солитонные решения. Выпишем несколько таких уравнений.

2.6.1 Обобщенное уравнение КдФ

Обобщенное уравнение КдФ

где неотрицательные целые числа, имеет следующие важные частные случаи, допускающие решение в виде уединенной волны:

(1) : бездисперсное линейное уравнение, дающее солитонное решение;

(2) - нечетное число: уравнение допускает солитонное решение с (амплитуда волны) (а);

(3) - четное число: уравнение допускает либо солитонную волну сжатия с (амплитуда волны) либо солитонную волну разрежения с (амплитуда волны) (а);

(4) : уравнение описывает акустическую волну в некоторых ангармонических решетках (Забуски [1967]) и альфвеновскую волну в бесстолкновительной плазме (Каку-тани и Оно [1973]);

(5) регуляризованное уравнение КдФ (Бенджамин, Бона и Магони [1972])

2.6.2 Уравнение Буссинеска

Уравнение Буссинеска

описывает волны в мелкой воде, распространяющиеся в обоих направлениях (Тода и Вадати [1973], Прасад и Равиндран [1977]), одномерную нелинейную волну в решетке (Забуски [1967]). Недавно Хирота [1973] с помощью численных расчетов показал, что это уравнение обладает солитонными решениями.

2.6.3. Уравнение sin-Гордона

Уравнение -Гордона описывает распространение дислокаций в кристалле (Френкель и Конторова [1939], Кохендёрфер и Сигер [1950] и Сигер, Донт и Кохендёрфер [1953]), движение стенок Блоха в магнитных кристаллах (Бин и де Блуа [1959], Дёринг [1948], Меников [1972]), распространение «скошенной волны» вдоль липидной мембраны (Фергасон и Браун [1968]), унитарную теорию элементарных частиц (Энц [1963], Розен и Розеншток

[1952] и Скирме [1958, 1961]) и распространение магнитных потоков в линии Джозефсона (Кулик [1966], Лебволь и Штефен [1967], Скотт [1967], Скотт и Джонсон [1969], Скотт [1970]).

2.6.4 Нелинейное уравнение цепочки

Нелинейное уравнение цепочки

называемое уравнением Тоды (Тода [1967а, 19676, 1968, 1969, 1970], Тода и Вадати [1973]). Оно описывает движение в одномерной цепочке масс, взаимодействующих через нелинейный потенциал

Изменяя величины а и 6, можно перейти от линейного случая конечно) к случаю твердых сфер конечно).

2.6.5. Нелинейное уравнение Шредингера

Нелинейное уравнение Шредингера описывает стационарное двумерное самофокусирование плоской волны (Келли [1965], Таланов [1965], Беспалов и Таланов [1966]), одномерную самомодуляцию монохроматической волны (Таниути и Васими [1968], Асано, Таниути и Ядзима [1969], Карпман и Крускал [1968], Хасегава и Тапперт [1973]), явление самозахвата (самоканализации) в нелинейной оптике (Карпман и Крускал [1968]), распространение теплового импульса в твердом теле (Тапперт и Варма [1970]), ленгмюровские волны в плазме (Фултон [1972], Итикава, Имамура и Таниути [1972], Симицу и Итикава [1972]), а также относится к уравнению Гинзбурга — Ландау в теории сверхпроводимости (де Жен [1966]).

2.6.6. Уравнение Хироты

Уравнение Хироты

где Это уравнение сводится к нелинейному уравнению Шредингера при и модифицированному уравнению при а при оно сводится к линейному уравнению Хирота [1973] получил -солитонное решение этого уравнения.

2.6.7. Уравнение Борна — Инфельда

Это уравнение записывается в виде

Борн и Инфельд получили это уравнение в трехмерных пространственных координатах в качестве нелинейной модификации уравнений Максвелла, что позволяет представить электрон естественным образом в виде сингулярности (Борн и Инфельд [1934, 1935], Фенберг [1935], Ольсен [1972], Портер [1972]).

2.6.8. Уравнение самоиндуцированной прозрачности

Макколл и Хан [1965] обнаружили путем вычислений, что ультракороткие импульсы света могут проходить сквозь резонансную двухуровневую оптическую среду, как сквозь прозрачную среду. Этот эффект был широко изучен (Макколл и Хан [1967, 1969]) и имеет следующее физическое объяснение. Временной интервал ультракороткого импульса оказывается меньше продолжительности фазовой памяти атомных уровней оптической среды. Поэтому наведенная поляризация может удерживать определенное соотношение фаз с падающим импульсом. В результате на фронте импульса возникает обращение атомной населенности, а на спаде импульса за счет индуцированной эмиссии происходит переход в основное состояние. Таким образом, энергия, передаваемая квантовой системе передним фронтом импульса, отбирается от нее в конце импульса обратно. В результате при выполнении соответствующих условий, относящихся к степени когерентности и интенсивности, возникает импульс неизменного профиля, распространяющийся без затухания со скоростью, которая может быть на два — три порядка меньше фазовой скорости света в данной среде.

Рассмотрим квантовый двухуровневый ансамбль атомов. Световая волна поляризует атомы, которые, действуя совместно, превращаются в источник электромагнитного поля. Пусть атомы распределены однородно с плотностью а напряженность электрического поля предполагается, что огибающая является медленно меняющейся функцией по сравнению с несущей Тогда уравнения Максвелла сведутся к виду Здесь ради удобства скорость света и другие физические параметры положены равными единице. С общим случаем читатель может познакомиться в прекрасной обзорной статье Ламба [1971].

Рассмотрим двухуровневый атом с разностью уровней энергии Лео и обозначим поляризацию в обусловленную атомом, через Ее можно приближенно разложить на компоненты, находящиеся в фазе и со сдвигом на 90° по отношению к несущей электромагнитной волне:

Теперь уравнение Шредингера для рассматриваемого атома сводится к уравнениям Блоха для огибающих функций

где -инверсия населенности в одиночном атоме. Мы можем теперь определить величину

где концентрация атомов, а функция описывает неопределенность энергетических уровней.

Как показали эксперименты и численные расчеты, решение приведенной выше системы уравнений распадается на последовательность отдельных когерентных оптических импульсов.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление