Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Приложение IIA. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ТРУБАХ И ВОЛНЫ НА МЕЛКОЙ ВОДЕ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ

В этом приближении мы рассмотрим две физические задачи и приведем их волновые уравнения к общему виду. В следующем приложении мы опишем метод, с помощью которого это общее уравнение сводится к эталонному. Забегая вперед, заметим, что первая задача приводит к обобщенному уравнению Бюргерса, а вторая — к обобщенному уравнению КдФ. В гл. 1 и 2 было рассмотрено распространение волн в однородных средах. Мы умышленно выбрали две указанные выше задачи, в которых рассматриваются волны в неоднородных средах, чтобы подчеркнуть тот факт, что даже в случае распространения волн в неоднородной среде эталонные уравнения с переменными коэффициентами могут адекватно отобразить реальную физическую ситуацию.

Течение газа в трубах

Рассмотрим распространение волн в жидкости (газе), текущей по каналу (трубе) переменного сечения. Предположим, что все переменные, характеризующие поток, постоянны сечению трубы, т. е. движение можем считать одномерным. Для них имеются следующие уравнения (Джеффри, Таниути [1964]).

Уравнение непрерывности

где — площадь поперечного сечения канала с координатой плотность и и — скорость жидкости.

Уравнение движения

где давление и коэффициент вязкости.

Уравнение энергии

где

— плотность энергии, и

- поток плотности энергии, у — отношение теплоемкостей (считается постоянным), теплопроводность.

Уравнение состояния. Будем предполагать, что между давлением, плотностью и температурой существует следующее соотношение:

где Т может быть выражено через Удобно считать зависимыми переменными и рассматривать их как элементы вектора-столбца

При этом введем

Средние значения этих величин будем считать постоянными. Рассматриваемые уравнения можно записать через переменные и параметры с чертой в следующем виде:

Внимательное исследование этих уравнений показывает, что их можно записать в следующем общем виде:

где так как в уравнениях после выделения первого члена производные по отсутствуют, а принимает значения 1 и 2, поскольку в них имеются только

первая и вторая производные по

где единичная матрица третьего порядка, а

Заметим, что мы пренебрегли зависимостями от

Распространение волн на мелкой воде с неровным дном

Для длинных береговых волн Перегрин [1967] получил следующую систему уравнений:

где горизонтальная скорость, осредненная по вертикальному направлению, Я — глубина при спокойной воде, зависящая от горизонтальной координаты, амплитуда волны. Если ограничиться движением только по оси то эти уравнения примут вид

Заметим, что уравнение содержит только первые производные по однако уравнение содержит

производные третьего порядка, из которых производная по повторяется дважды, а по только один раз. Эти замечания полезны для правильного выбора матриц На и Очевидно, здесь когда мы превратим уравнения

При этом мы положим и далее

чтобы свести систему уравнений к виду

Оба приведенных выше примера распространения волн в неоднородной среде были рассмотрены Асано и Оно [1971]. В дополнение к двум этим примерам они рассмотрели также наклонное распространение магнитоакустической волны. Таниути и Вэй [1968] описали два примера распространения волн в однородной среде, а именно волн в движущемся газе и ионно-акустических волн. Используя метод сингулярных возмущений, они развили стройную теорию сведения данной системы уравнений в стандартной форме без последнего члена, т. е. пренебрегая неоднородностью среды, к одному нелинейному уравнению в частных производных, причем это было сделано при предположениях слабой нелинейности, умеренности эффектов дисперсии и диссипации, а также большой длины волны. Ниже (приложение для учета умеренной неоднородности мы обсудим теорию сведения в форме, предложенной Асано и Оно.

Другие исследователи для получения уравнений Бюргерса и КдФ (см., например, Лейбович и Сибасс [1972]) использовали «метод нескольких масштабов». Их метод является по существу модификацией процедуры, предложенной Таниути и Вэем [1968]. Прасад и Равиндран [1977] разработали более общий метод получения аналогичного эталонного уравнения для распространения изогнутых волн в многомерных средах.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление