Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Приложение IIБ. Метод сведения к эталонному уравнению

Чтобы получить масштабы растяжения координат, рассмотрим сравнительно простой случай системы уравнений, описывающей распространение умеренно нелинейных волн в, однородной среде:

Ниже мы рассмотрим более общую систему уравнений, описывающую распространение умеренно нелинейных волн в умеренно неоднородной среде:

где последний член учитывает неоднородность среды согласно приложению

В уравнениях есть вектор-столбец с компонентами суть -матрицы, элементы которых зависят от в случае и только от в случае известная вектор-функция от индексами как обычно, обозначены производные по пространственной координате и времени. Мы можем получить дисперсионное соотношение, рассматривая малые колебания вблизи состояния равновесия о

Подставляя в и оставляя только первую степень функции получаем

где индекс 0 относится к значению Уравнение дает дисперсионное соотношение в виде

Поскольку мы интересуемся длинными волнами, уравнение решается методом последовательных приближений в предположении, что мало. Приближение нулевого порядка имеет вид

Дисперсионное соотношение нулевого порядка является степенью относительно Пусть — невырожденное собственное значение матрицы левый собственный вектор, а правый собственный вектор матрицы для Тогда в этом приближении имеем

Следующее приближение получим подстановкой в члены возмущений. В результате имеем

Умножая на левый собственный вектор приходим к выражению

Продолжая аналогичным методом, можно получить более высокие порядки аппроксимации в виде ряда

и т. д. Будем считать, что Характеристики уравнения укороченного в результате пренебрежения

третьим членом, можно записать в форме

где малый (но не равный нулю) параметр, определяющий степень нелинейности. Сравнивая уравнения мы видим, что между нелинейными эффектами и эффектами дисперсии (или диссипации) может возникнуть взаимодействие порядка если

Из следует, что произведение на длину волны будет порядка единицы. Этот факт следует принимать во внимание при определении движущейся системы координат

применимой для слабо нелинейных длинных волн. Дифференцируя по получаем

Это выражение определяет вторую «растягиваемую» переменную связанную с первой переменной соотношением Дифференцируя по получаем

что приводит нас к определению переменной

характеризуемой условием Таким образом, мы имеем две группы растягиваемых переменных: . Очевидно, что в задаче на начальные условия следует использовать первую группу переменных, а для краевой задачи — вторую группу. Характеристики в «растягиваемых» переменных принимают вид

при использовании и

при использовании Из проведенного обсуждения ясно, что масштабы растягивания координат однозначно определены заданной системой уравнений Если среда неоднородная, как это имеет место в большинстве

физических систем, становится существенным взаимодействие волн на неоднородностях.

Теперь мы применим нашу теорию к уравнению опираясь на метод растягивания координат, что было сделано Таниути и Вэем [1968] для однородной среды и модифицировано Асано и Оно для учета умеренной неоднородности [1971]. Стационарное состояние системы, отмеченное индексом 0, дается уравнением

Предположим, что медленно меняющиеся функции и их изменения могут быть адекватно учтены введением переменной определяемой формулой При изучении изменений с изменением нам следует оценить порядок Будем использовать «растягиваемые» переменные определенные заново следующими выражениями, учитывающими неоднородность среды:

где невырожденное собственное значение матрицы т. е. является скоростью линейной волны. В растягиваемых координатах уравнение сводится к уравнению

если пренебречь членом порядка Разложим в окрестности по степеням

а коэффициенты матриц также разложим в ряды по степеням

Из имеем

и, заменяя производные по производными по получаем Переходя в к координатам , подставляя выражения в полученное

уравнение и приравнивая по отдельности члены при одинаковых степенях нулю, получаем

и т. д. Пусть о — правый собственный вектор матрицы А для тогда

Из получаем

где скалярная функция переменных Отсюда

где V — произвольная функция только Поскольку произвольность нормы вектора не влияет на конечный результат, V однозначно определяется при условии, что и заданы при некотором значении скажем Тогда величина определяется из уравнения Умножая на левый собственный вектор матрицы для собственного значения после некоторых упрощений и использования получаем

Это уравнение можно далее упростить, если заметить, что

Отсюда следует

и аналогичное выражение для Подставляя в и перегруппировывая члены, получаем уравнение для

где

Таким образом, мы свели систему уравнений к одному уравнению относительно неизвестной Между прочим заметим, что если определяемое не равно нулю. В своих работах Таниути и Вэй [1968] и Асано и Оно [1971] рассмотрели случай

Из уравнения можно удалить ряд членов при помощи преобразования

где

При этом производится следующая замена переменных:

а также замена производных по следующей схеме:

В результате преобразованное уравнение принимает удобный вид:

где коэффициенты зависят только от 0. Очевидно, что при оно сводится к уравнению Бюргерса, а при

к уравнению КдФ (с переменными коэффициентами). Теперь мы применим изложенный выше метод к двум случаям, рассмотренным в приложении

Потоки в каналах

Стационарные решения задаются уравнениями

Собственные значения матрицы

задаются выражениями

Выберем собственное значение

Соответствующие ему правый и левый собственные векторы выражаются в виде

Тогда

Следовательно, из получим

Аналогично из имеем

и из

где вместо введено , чтобы избежать путаницы, а число Маха для невозмущенного потока,

определяемое из Окончательно получим для переменной

уравнение Бюргерса в форме

где

зависит только от

Волны на мелкой воде при неровном дне

В случае матрица

поэтому

Правый и левый собственные векторы имеют вид

а коэффициенты для задаются выражениями

Уравнение КдФ для

примет вид

с коэффициентами, зависящими только от 1].

Между прочим заметим, что аналогичный метод сведения к эталонному уравнению применялся в других ситуациях, например для изучения поведения решений дифференциальных уравнений в окрестности критической точки (Куликовский, Слободкина [1967], Бхатнагар, Прасад [1971], Прасад [1973]) и для расчета эволюции импульса с искривленным волновым фронтом (Прасад [1975]).

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление