Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.2. Свойства уравнения Шредингера

Метод, который мы применим для изучения взаимодействия солитонов, основан на установлении связи между уравнением КдФ и одномерным стационарным уравнением Шредингера Основное достоинство такого подхода состоит в том, что мы сможем использовать свойства этого знаменитого

уравнения, детально изученного за последние тридцать —сорок лет.

Ниже мы напомним читателю только те свойства уравнения Шредингера, которые понадобятся для наших рассмотрений. Для дальнейших ссылок мы отсылаем читателя к книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1974].

Итак, рассмотрим стационарное одномерное уравнение Шредингера

где потенциал, X — значение энергии, -волновая функция. В квантовой механике функция в (3.7) является волновой функцией частицы, движущейся во внешнем поле с потенциальной энергией Далее нам понадобятся следующие свойства решений уравнения (3.7):

1. Спектр X может быть либо дискретным, либо непрерывным, либо смешанным.

2. Дискретные точки спектра X, называемые собственными значениями, отрицательны и соответствуют устойчивым состояниям частиц, движущихся в ограниченных областях пространства. Будем обозначать собственные значения через

величины также будем называть собственными значениями.

3. Непрерывные точки спектра отвечают неограниченному движению частицы, когда она достигает бесконечности. На достаточно больших расстояниях потенциальным полем можно пренебречь и считать частицу свободной. Энергия свободной частицы положительна, следовательно, значения X непрерывного спектра положительны. Обозначим их через

4. В классической механике частица с энергией Е не может проникнуть в область Однако в квантовой механике частица при движении в конечной области может находиться в областях пространства, где хотя вероятность этого мала, но не равна нулю и быстро стремится к нулю при увеличении расстояния проникания в эту область.

5. Ни одно значение дискретного спектра не является вырожденным, т. е. каждому собственному значению соответствует одна и только одна собственная функция, как видно из следующего. Пусть две собственные функции соответствуют собственному значению Тогда имеем

т. е., интегрируя один раз, получаем в силу граничного условия при

Следовательно, имеем откуда после интегрирования находим т. е. две собственные функции различаются лишь постоянным множителем. Непрерывный же спектр вырожден.

6. Расположим собственные значения по возрастающим величинам: ипустья соответствует Тогда собственная функция имеет нулей в ограниченном интервале на оси в котором происходит движение частицы.

7. Рассмотрим потенциал при Тогда при уравнение Шредингера имеет следующую асимптотическую форму: Для дискретного спектра оно записывается в виде и имеет два независимых решения

Ясно, что при допустимым решением является и при решение есть Для непрерывного спектра уравнение Шредингера принимает вид и его два независимых решения даются формулами

Здесь решение отвечает частице, движущейся в положительном направлении оси в то время как решение отвечает частице, движущейся в отрицательном направлении оси

8. В нашем рассмотрении, используя определяемое уравнением как потенциал в уравнении Шредингера, будем считать параметром, так что собственные значения и собственные функции (а также элементы непрерывного спектра) уравнения Шредингера будут зависеть от параметрически. Итак, мы можем записать

9. При и волновую функцию непрерывного спектра можно представить асимптотически в виде линейной комбинации двух гармонических волн и аналогично при Рассмотрим волну, приходящую из Можно записать

где комплексные числа зависящие от волнового числа, есть коэффициенты отражения и прохождения соответственно. Здесь взята падающая волна единичной амплитуды, В случае дискретного спектра собственные функции

при и квадраты их интегрируемы, значит, мы можем нормировать ее по следующему правилу:

Из закона сохранения энергии имеем: энергия падающей волны равна сумме энергии отраженной волны и энергии прошедшей волны, т. е.

образуют параметры рассеяния для волны.

10. Уравнение Шредингера является уравнением второго порядка, и поэтому необходимо рассматривать два его независимых решения. Предположим, что — одно из решений, другое линейно независимое решение уравнения, тогда Делая подстановку и используя соотношение имеем проинтегрировав которое получим Отсюда

В, и другое решение имеет вид

Мы можем опустить второй член справа, так как он будет включен в член, содержащий Поэтому мы можем принять

11. Пусть потенциал четная функция. Тогда уравнение Шредингера инвариантно относительно преобразования Следовательно, если собственная функция, то тоже собственная функция и они равны с точностью до постоянного множителя: Еще раз применяя преобразование получаем так что Поэтому если потенциал симметричен относительно то волновая функция стационарных состояний либо четная, либо нечетная. Этот результат следует из предположения, что дискретный спектр оператора Шредингера невырожден. Если мы не будем делать этого предположения, то при преобразовании две собственные функции с одним и тем же собственным значением могут просто переходить друг в друга.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление