Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.3 Интервалы уравнения и связь между уравнениями КдФ и Шредингера

Запишем уравнение КдФ

в форме закона сохранения

Если мы предположим, что функция и периодична по либо что и и ее производные исчезают достаточно быстро при то, интегрируя закон сохранения (3.17), получим

где не зависит от времени.

Таким образом, с пределами интегрирования или двумя концами периода по есть не зависящий от времени функционал на решениях уравнения . Мы назовем не зависящий от времени функционал интегралом уравнения. Миура, Гарднер и Крускал [1968] показали, что уравнение КдФ имеет бесконечное число полиномиальных законов сохранения. Первый из них выписан выше. Следующий может быть выведен при помощи умножения (3.16) на и, так что

Третий был выведен Уиземом в 1967 году:

Так как каждый закон сохранения дает интеграл уравнения КдФ, ясно, что уравнение КдФ имеет бесконечное число интегралов вида (3.18). Однако это не единственные интегралы, как мы вскоре увидим. Объясним теперь, каким образом впервые возникло уравнение Шредингера при изучении уравнения Подставим

в уравнение Тогда получим уравнение

которое удовлетворяется, когда удовлетворяет модифицированному уравнению

Таким образом, если эволюционирует согласно (3.22), то и, определяемое уравнением (3.16), удовлетворяет

уравнению КдФ. Модифицированное уравнение КдФ имеет также бесконечное число полиномиальных законов сохранения вида (3.17), причем первые три из них имеют вид

Законы сохранения определяют интегралы модифицированного уравнения КдФ. Уравнение (3.21) устанавливает связь между упоминавшимися выше интегралами уравнения КдФ (3.16) и модифицированного уравнения КдФ (3.22). Эта связь справедлива для всех интегралов, за исключением интеграла модифицированного уравнения который не может быть получен из интеграла уравнения КдФ при помощи преобразования (3.21). Для данной функции и соотношение (3.21) есть не что иное, как уравнение Риккати, которое может быть превращено в линейное уравнение при помощи хорошо известной подстановки

Уравнение для есть одномерное уравнение Шредингера

без членов, отвечающих ненулевым уровням энергии. Замечая, что уравнение КдФ инвариантно относительно преобразований

в (3.27) могут быть введены и ненулевые уровни энергии. Это также ведет к доказательству того, что собственные значения уравнения Шредингера

где и эволюционирует согласно уравнению КдФ, суть не зависящие от времени функционалы от и, т. е. они являются интегралами уравнения КдФ (3.16). В следующем разделе мы докажем это.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление