Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.4. Независимость от времени спектра уравнения Шредингера, определение параметров рассеяния

Докажем, что собственные значения уравнения Шредингера (3.29) не зависят от которое входит пераметрически в потенциал удовлетворяющий зависимому от

времени уравнению КдФ. Из (3.29) имеем

Подставляя (3.30) в (3.17), получаем

где

Интегрируя (3.31) по от до и рассматривая нормированные волновые функции, получаем

в силу граничных условий на а именно в силу того, что и ее производные стремятся к нулю при Утверждение доказано.

Наиболее важное следствие этого результата заключается в том, что мы можем сразу же для всех моментов времени определить спектр уравнения Шредингера, используя начальное условие заданное заранее для решения уравнения КдФ.

Для непрерывного спектра собственное значение Я может быть принято не зависящим от следовательно, (3.33) должно выполняться. Подставляя (3.33) в (3.31), как для дискретного, так и для непрерывного спектров получаем

что в силу (3.29) сводится к

Таким образом, также удовлетворяет уравнению Шредингера, и мы можем взять

Рассмотрим теперь собственное значение Я. Так как при то для ограниченности мы должны принять

и значит

или из (3.32а) имеем

Интегрируя это соотношение по от до и используя граничные условия на и ее производные, а также условие нормировки получаем

так что

При мы можем написать

Подставляя (3.42) в (3.41), имеем интегрирование которого дает

Рассмотрим точки из непрерывного спектра Для стационарной плоской волны, идущей из можно написать

где коэффициент прохождения. Подставляя (3.44) в (3.36), где дается формулой (3.32), имеем

где левая часть — функция только от а правая часть содержит функцию от в качестве множителя. Значит, (3.45) выполняется лишь при

Последнее равенство содержит неизвестную функцию Асимптотическое поведение этой плоской волны при дается формулой

где падающая волна имеет единичную амплитуду и коэффициент отражения. Подставляя (3.48) в (3.36), получаем

откуда следует, что

Подставляя значение С из (3.49) в (3.47) и (3.50) и интегрируя, получаем

Уравнения (3.43), (3.51) и (3.52) определяют поведение параметров рассеяния в зависимости от через их значения при которые можно получить путем решения уравнения Шредингера с потенциалом заданным начальным условием для уравнения КдФ. Таким образом, решение прямой задачи рассеяния завершено.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление