Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.5. Обратная задача рассеяния

Чтобы определить потенциал из данных рассеяния, следует решить обратную задачу рассеяния. В настоящей задаче этот потенциал является решением уравнения КдФ. Мы будем следовать методу, предложенному И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном [1951] и Кэем и Мозесом [1956], а далее развитому Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой [1974]. Эти авторы показали, что требуемое решение уравнения КдФ задается в виде

где удовлетворяет интегральному уравнению Гельфанда — Левитана

и ядро В дается выражением 2)

в предположении, что существует невырожденных собственных значений уравнения Шредингера. В уравнении (3.55) первый член в правой части дает вклад дискретной части спектра, а второй — вклад непрерывной части спектра. С помощью уравнений (3.43), (3.51) и (3.52) можно записать в

явном виде зависимость от времени уравнения (3.55) :

Следовательно, перед тем как решать интегральное уравнение Гельфанда — Левитана для определения надо определить из решения прямой задачи рассеяния для уравнения Шредингера, взяв начальное значение в качестве потенциала. Таким образом, мы пришли к следующей схеме решения уравнения КдФ:

Главное преимущество этого метода заключается в том, что решение нелинейного уравнения КдФ сводится к решению линейного дифференциального уравнения второго порядка (уравнения Шредингера) и линейного интегрального уравнения (т. е. уравнения Гельфанда — Левитана). Более того, переменные в уравнении (3.54) являются только параметрами, так что оно является интегральным уравнением только относительно единственной переменной у. Если потенциал безотражательный, то уравнение существенно упрощается, так как второй член в (3.56) пропадает.

В следующем разделе будет показано, что используемые в нем начальные условия являются безотражательными потенциалами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление