Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.6. Солитонные решения уравнения КдФ

Чтобы проиллюстрировать метод обратной задачи теории рассеяния, в этом разделе мы рассмотрим простые случаи одно- и двухсолитонных решений уравнения КдФ. Это рассмотрение покажет, что одному собственному значению уравнения Шредингера соответствует только одно солитонное решение и наоборот. Мы установим аналогичный факт для общего случая солитонов в следующем разделе.

3.6.1. Односолитонное решение

Мы рассматриваем этот случай лишь для того, чтобы проверить наш метод. Решение (3.6) уравнения (3.3) соответствует начальному условию Для определенности возьмем так что стационарное решение уравнения отвечающее начальному условию

имеет вид

Теперь постараемся получить решение (3.58) при помощи обратной задачи теории рассеяния при начальном условии (3.57). Таким образом, в прямой задаче рассеяния мы должны решить задачу на собственные значения для уравнения Шредингера:

Потенциал (3.57), который появляется в (3.59), является безотражательным, т. е. для непрерывного спектра. Кэй и Мозес [1956] детально рассмотрели весь класс безотражательных потенциалов, частным случаем которых является (3.57) (и (3.84) в следующем разделе). Итак, сделав эти предположения, определим теперь дискретный спектр. Следуя Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицу [1974], представим решение уравнения (3.59) через гипергеометрические функции. Сначала подставим

в (3.59), тогда получим

Если мы хотим, чтобы коэффициент при со не зависел от то должны выбрать

При этом выборе уравнение (3.61) принимает вид

Чтобы привести (3.63) к стандартной форме гипергеометрического уравнения

сделаем подстановку

Тогда получим следующее уравнение, определяющее :

где

причем здесь формально принято

Так как четная функция от решение уравнения Шредингера (3.59) может быть либо четным по либо нечетным. Более того, определенная уравнением (3.66), есть четная функция нечетная функция Заметим, что, согласно (3.66), при Следовательно, так как при (т. е. при то при Четные и нечетные (по интегралы уравнения (3.67) имеют вид

Так как со должно быть ограничено в особой точке уравнения (3.67), выражения (3.70) и (3.71) должны быть полиномами. Далее имеем

Значения при которых являются полиномами, а стремятся к нулю при соответствуют дискретному дпектру, Так как при уравнение

(3.73) теряет смысл, если мы положим Уравнение (3.72) дает приемлемое решение только тогда, когда

Следовательно, уравнение Шредингера имеет единственное собственное значение Собственная функция, соответствующая безотражательному потенциалу (3.57), имеет вид

где определяется из условия нормировки для

и нормированная собственная функция имеет вид

Используя уравнение (3.10) при и уравнения (3.74), (3.75), имеем

Так как потенциал (3.57) является безотражательным, то Следовательно, из уравнений (3.43) и (3.56) получаем

При этом интегральное уравнение Гельфанда — Левитана принимает вид

Рассматривая зависимость (3.79) от у, разумно положить

Это предположение устраняет полностью зависимость (3.79) от у, и результирующее уравнение определяет следующее выражение для

так что решение уравнения Гельфанда — Левитана имеет вид

а решение уравнения КдФ, удовлетворяющее начальным условиям (3.57), есть

что совпадает с решением типа уединенной волны (3.58). Этот простой пример объясняет, как работает метод обратной задачи рассеяния. Между прочим заметим, что только одна уединенная волна соответствует собственному значению

3.6.2. Двухсолитонное решение

Рассмотрим следующие начальные данные:

в которых амплитуда и ширина волны не соответствуют решению типа уединенной волны (3.6) при При этом мы должны решить следующую задачу на собственные значения для уравнения Шредингера:

Потенциал опять является безотражательным. Попытаемся найти дискретный спектр. Подставляя (3.60) в (3.59) и выбирая таким, чтобы коэффициент при не зависел от имеем

Выбирая получаем следующее уравнение для

Теперь при замене независимой переменной на согласно (3.66) это уравнение переходит в уравнение

где формально вместо Я записано Здесь (3.84) также четная функция от так что мы выпишем четные и нечетные решения уравнения (3.87):

Следовательно, четные и нечетные решения уравнения (3.85) имеют вид

Здесь при Эти граничные условия могут быть удовлетворены лишь в том случае, когда гипергеометрические функции (3.90), (3.91) сводятся к полиномам. Уравнение (3.90) допускает приемлемое решение только тогда, когда

Это дает только одно значение соответствующее для которого

Функция в (3.91) становится полиномом, когда

Здесь также получим лишь одно значение а именно соответствующее которое дает допустимое решение

Нормированные функции, соответствующие собственным значениям имеют соответственно вид

Мы можем сразу определить значения как и в (3.76):

Следовательно, из уравнения (3.43) имеем

Ядро дается формулой

так что уравнение Гельфанда — Левитана принимает вид

Чтобы сделать это уравнение не зависящим от у, предположим

Подставляя (3.100) в (3.99), приравнивая коэффициенты при нулю и выполняя необходимые интегрирования, получаем два уравнения для определения

Решая эти уравнения, получаем

где

Подставляя эти значения в уравнение (3.100) и приравнивая у их, имеем

откуда получается следующее решение уравнения КдФ, удовлетворяющее начальному условию (3.84):

Чтобы понять природу этого решения, рассмотрим его асимптотическое поведение при При изучении асимптотического поведения мы преследуем цель определить, содержит ли оно скрытые в нем решения для солитонов, соответствующих собственным значениям Сначала рассмотрим собственное значение Для этого положим в (3.102)

и перейдем к пределу при сохраняя фиксированным. Можно легко показать, что

Аналогично, если мы положим

и перейдем к пределу в (3.102) при сохраняя постоянным, получим

Теперь понятно, что уравнения (3.104) и (3.106) с точностью до разницы в фазе представляют собой тот же самый солитон, перемещающийся от до Аналогично уравнения (3.109) и (3.111) также с точностью до разницы в фазе представляют собой тот же самый солитон, перемещающийся от до Таким образом, можно заключить, что каждому собственному значению уравнения Шредингера (3.85) соответствует односолитонное решение. Между тем уравнение (3.102) описывает двухсолитонную волну, которая распадается на два солитона при и эффект нелинейного взаимодействия между ними, описываемого уравнением КдФ, сводится просто к тому, что их взаимное положение смещается по отношению к положению, которое они заняли бы, если бы взаимодействия не было.

На рис. 3.1 изображено взаимодействие двух отдельных солитонов, движущихся с разными скоростями, равными 16 и 4, и амплитудами, равными 8 и 2, начинающими движение с момента ; при этом больший солитон следует за меньшим. Сначала больший солитон начинает «проглатывать» меньший, затем при они сливаются, образуя единую сдвоенную волну. При дальнейшем росте появляется

(кликните для просмотра скана)

больший солитон, оставляя позади меньший; при они снова разделяются. Как упоминалось ранее, такое поведение солитонов удивительно, так как, если не принимать во внимание разность фаз, оно подобно линейному взаимодействию (т. е. случаю, описываемому линейным волновым уравнением. Прим. перев.).

3.6.3. N-солитонное решение

При изучении -солитонных решений уравнения КдФ мы будем в основном следовать методу, описанному в делая необходимые изменения.

Предположим, что потенциал является безотражательным и уравнение Шредингера имеет собственных значений Ядро из уравнения (3.55) имеет вид

и уравнение Гельфанда — Левитана принимает вид

Чтобы устранить из (3.115) зависимость от у, мы должны выбрать в следующем виде:

где неизвестные функции, а множители введены так, чтобы функции оказались нормированными собственными функциями уравнения Шредингера

Подставим (3.116) в (3.115) и приравняем коэффициенты при для того, чтобы получить следующую систему линейных уравнений для определения неизвестных функций

Можно записать эти уравнения в следующем матричном виде:

где единичная матрица порядка

есть -матрица и

— матрицы-столбцы. Достаточное условие единственности решения уравнения (3.119) заключается в положительной определенности С, что действительно имеет место, как видно из нижеследующего. Квадратичная форма, отвечающая квадратной матрице С, имеет вид

откуда следует, что она положительно определённа. Таким образом, доказан факт единственности решения.

Далее легко показать, что

Из (3.122) следует

где положительны. Пусть алгебраические дополнения к элементам столбца матрицы в (3.119); тогда, раскладывая по столбцу, имеем

где символ Кронекера. Тогда правило Крамера дает

Следовательно, приравнивая у и получим

и решение уравнения КдФ выражается в виде

Покажем, что в -нормированные функции, соответствующие собственным значениям уравнения Шредингера

где линейный дифференциальный оператор. Применяя оператор к (3.118), после значительного упрощения получим

где вектор-столбец. Так как матрица невырожденна, то (3.131) допускает только тривиальное решение Следовательно, собственные функции уравнения Шредингера, отвечающие собственным значениям Если запишем (3.118) в форме

и перейдем к пределу получим Таким образом, нормированные собственные функции.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление