Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.7. Взаимодействие солитонов

Теперь мы изучим поведение решения (3.129) при чтобы доказать, что оно содержит солитонов. Введем следующие обозначения:

Чтобы получить запишем (3.118) через

Дифференцируя (3.134) по получим

Заметим, что мы можем решить (3.134) и получить и затем найти необходимое для решения (3.132). Однако мы найдем более удобным и изящным способом с помощью (3.135). Перейдем в уравнениях (3.134) и (3.135) к координатной системе, движущейся со скоростью одного из солитонов, определяемой выражением

Уравнения (3.134) и (3.135) примут вид

При эти уравнения имеют вид

В дальнейшем расположим собственные значения в порядке убывания:

3.7.1. Асимптотическое поведение при ...

При уравнение (3.137) принимает вид

В силу (3.145) мы можем объединить (3.143) и (3.144); тогда имеем

Аналогично (3.138) и (3.141) дают

Для решения уравнений (3.146) и (3.147) определим матрицы

которые имеют положительные определители для всех Пусть матрица, полученная из заменой последнего столбца на столбец, все элементы которого . Из (3.146) и (3.147) по правилу Крамера получим

где алгебраическое дополнение к в Принимая для имеем

Суммируя (3.150) и используя (3.151) и (3.152), получим

Мы можем легко вычислить определитель вычитая последний столбец из каждого предыдущего и вынося общие множители из строк и столбцов:

Аналогично, вычитая последнюю строку определителя из каждой другой, вынося общие множители и разлагая по последнему столбцу (состоящему из нулей и единицы на последнем месте), получим

Подставляя (3.139), (3.154) и (3.155) в (3.153), получим

где дается выражением

Формула (3.156) представляет уединенную волну с амплитудой движущуюся в положительном направлении оси с постоянной скоростью

3.7.2. Асимптотическое поведение при ...

В этом случае мы имеем следующие уравнения, соответствующие (3.146) и (3.147):

Уравнения (3.158) и (3.159) имеют ту же структуру, что и (3.146) и (3.147) при условии замены изменения от 1 до на изменение от до Следовательно,

Предыдущие рассмотрения ведут к следующему заключению. Если решение уравнения КдФ, есть безотражательный потенциал Шредингера, то при каждое собственное значение связано с солитоном, форма которого стремится к форме уединенной волны (3.156) при и форме (3.160) при Уединенная волна имеет постоянную скорость и амплитуду Во время ее прохождения от до фаза на ее траектории изменяется на величину

Эта теорема была независимо доказана В. Е. Захаровым [1971], Вадати и Тодой [1972] и Танакой [1972—1973]. Из (3.162) видно, что полный сдвиг фазы есть сумма сдвигов фаз, претерпеваемых при изолированном парном взаимодействии любых двух солитонов. Этот факт был отмечен также В. Е. Захаровым [1971].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление