Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.2. Определения

В настоящем разделе мы введем некоторые определения, необходимые для наших рассмотрений. Пусть В — некоторое пространство функций, таких, что для каждого решение уравнения эволюции

принадлежит В. Предположим, что мы можем сопоставить каждой функции самосопряженный оператор действующий на некотором гильбертовом пространстве , где символ и под указывает на то, что зависит от решения: и обладает следующими свойствами: если временное изменение подчиняется уравнению (4.9), то оператор который также зависит от времени остается унитарно эквивалентным.

Для определения термина «унитарная эквивалентность» необходимо ввести ряд определений, которые хорошо известны и будут упомянуты из соображений полноты.

4.2.1. Сопряженный оператор

Пусть и оператор на Н, тогда назовем оператором, сопряженным к если

для любых из области определения оператора, где обозначает скалярное произведение в Н.

4.2.2. Самосопряженный оператор

Оператор назовем самосопряженным, если он определен для каждого элемента ей и равен своему сопряженному оператору, т. е. так что

для всех если самосопряженный оператор.

4.2.3. Симметричные и антисимметричные операторы

Пусть оператор, определенный в Н. Если для всех где область определения то назовем симметричным оператором. Если же

то назовем антисимметричным оператором. Таким образом, для симметричного оператора для антисимметричного Из определения ясно, что самосопряженный оператор необходимо симметричный.

4.2.4. Унитарный оператор

Оператор определенный для каждого элемента из Н, называется унитарным, если

где — тождественный оператор. Следовательно, для унитарного оператора

где мы использовали общее свойство операторов:

Мы будем также пользоваться следующим свойством операторов. Пусть два оператора на Н, тогда

4.2.5. Унитарная эквивалентность

Оператор называется «унитарно эквивалентным», если существует однопараметрическое семейство унитарных операторов таких, что

Математически мы выразим этот факт следующим образом:

где индексом обозначена производная по времени

Пример. Пусть скалярное произведение в определенное в гильбертовом пространстве

. Тогда

Поэтому антисимметричный оператор. Рассмотрим теперь выражение

Поэтому симметричный оператор.

В общем случае можно легко показать, что для данного скалярного произведения следующие операторы являются соответственно антисимметричными и симметричными операторами порядка

Заметим, что каждый из этих операторов содержит неизвестных функций Заметим также, что мы могли бы доказать симметричность непосредственно, без применения интегрирования:

откуда

В общем случае, когда мы не вводим конкретной нормы, мы можем доказать те же свойства при условии, что скалярное произведение, т. е. билинейный функционал инвариантно по отношению к сдвигу: Дифференцируя это выражение по и полагая получаем

Результаты для производных высшего порядка можно получить при помощи вышеуказанного приема.

Чтобы объяснить смысл определения (4.2.5), докажем следующую теорему.

Теорема 1. Если унитарный оператор, определенный на гильбертовом пространстве, то где А — антисимметричный оператор, зависящий от

Доказательство. Так как после дифференцирования по получаем

при условии, что т. е. при условии, что операции сопряжения и дифференцирования по перестановочны. Докажем, что это так.

поэтому, дифференцируя по получим Кроме того, по определению оператора, сопряженного имеем Следовательно, т. е. Из (4.23), используя свойства выведенные в имеем

Таким образом, Это завершает доказательство теоремы. Обратная теорема также верна.

Важным следствием этого результата является тот факт, что унитарные операторы образуют однопараметрическое семейство. Докажем теперь теорему, которая составит основу для наших рассмотрений.

Теорема 2. Если унитарно эквивалентный оператор, то существует антисимметричный оператор А, зависящий от такой, что

где коммутатор

Доказательство. унитарно эквивалентный оператор, значит, существует однопараметрическое семейство операторов, удовлетворяющих (4.18). Вычислим сначала Пусть так что Тогда

Таким образом, получаем

Подставляя уравнения (4.22) и (4.25) в уравнение (4.18), имеем

Теорема доказана.

Понятие унитарной эквивалентности очень важно для дальнейшего рассмотрения. Пусть унитарно эквивалентный оператор при изменении так что Я— собственное значение оператора Тогда существует унитарный оператор такой, что не зависит от Отсюда следует, что собственные значения оператора также не зависят от Заменяя и умножая уравнение слева на получаем Таким образом, собственные значения унитарно эквивалентного оператора не зависят от времени. Итак, мы доказали следующую основную теорему.

Теорема 3. Собственные значения симметричного оператора где и эволюционирует согласно уравнению не зависят от времени если унитарно эквивалентный оператор. Следовательно, собственные значения оператора являются «интегралами» уравнения эволюции.

Камнем преткновения является вопрос о существовании антисимметричного оператора А, удовлетворяющего уравнению (4.24). В случае уравнения Шредингера мы можем построить такой антисимметричный оператор, тогда как в общем случае мы будем лишь предполагать о его существовании.

Если оператор может быть выражен в форме где не зависит от линейно зависит от , то теорема 3 может быть сформулирована в измененной форме. Подобного рода ситуация возникает в случае оператора Шредингера: который симметричен и может быть выражен в вышеуказанной форме, если взять

Теорема 4. Пусть симметричный оператор, зависящий от функции , являющийся решением уравнения

и пусть он может быть выражен в следующем виде:

где не зависит от и, а М зависит линейно от . Предположим, что существует антисимметричный оператор А, зависящий от , такой, что

тогда собственные значения являются «интегралами» уравнения (4.27).

Доказательство. Опуская индекс при имеем Дифференцируя по получаем

Так как М зависит линейно от , то зависит линейно от т. е. от Следовательно, и из уравнения (4.29) получаем Таким образом, является унитарно эквивалентным при и, удовлетворяющем (4.27). Теорема доказана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление