Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.3. Решения типа уединенной волны общего уравнения эволюции

Будем предполагать выполненными следующие теоремы существования и единственности для уравнения эволюции:

Теорема существования. Существует решение уравнения (4.31), соответствующее начальному условию при условии его достаточной гладкости и стремления к нулю со своими производными любого порядка при

Теорема единственности. Данное начальное условие, удовлетворяющее условиям теоремы существования, определяет единственное решение уравнения (4.31).

В рамках сделанных предположений мы сначала свяжем линейное вариационное уравнение с однопараметрическим семейством решений уравнения (4.31). Можно построить однопараметрическое семейство решений уравнения (4.31), сделав начальные условия функциями параметра

В соответствии с начальными данными (4.32) мы имеем однопараметрическое семейство решений уравнения которое для малых значений можно записать в виде

где - решение уравнения (4.31), соответствующее начальному значению но не есть решение уравнения (4.31). Далее установим уравнение эволюции для и. Для этого потребуем следующее: оператор зависит от и гладко, т. е. функция

определяется единственным образом и является линейной функцией от тогда называется вариацией К. Заметим, что левая часть (4.34) есть производная функция в смысле Фреше. В дальнейшем мы будем обозначать производную Фреше от функции точкой над функцией. Дифференцируя по и полагая с помощью (4.34) получаем

Уравнение (4.35) называется вариационным уравнением для

Пусть интеграл уравнения (4.31). Предположим, что дифференцируем по Фреше, т. е. существует

и является линейным функционалом от который можно представить в виде так что можно написать

здесь называется градиентом функции Так как есть интеграл уравнения (4.31), то не зависит от для любого значения и значит также не зависит от Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 5. Пусть произвольное решение уравнения произвольное решение соответствующего вариационного уравнения. Пусть интеграл (4.31) и его градиент, тогда билинейный функционал не зависит от

Примечание. Этот результат соответствует следующему результату для линейных уравнений. Рассмотрим линеаризованный вариант уравнения сих иххх Умножая его на и интегрируя по от до получаем предполагая, что Таким образом, квадратичный функционал не зависит от Назовем его энергией. Пусть

теперь и и любые два решения данного уравнения. Тогда по принципу суперпозиции также решения этого уравнения. Таким образом, квадратичные функционалы не зависят от времени Складывая их, получаем, что выражение

которое является билинейным функционалом по и и с, также не зависит от Теперь докажем основную теорему Лакса.

Теорема 6. Предположим, что уравнение эволюции удовлетворяет следующим условиям:

а) гладко зависит от и, ее вариация есть

б) уравнение инвариантно по отношению к трансляции по и сохраняет положительно определенный трансляционно-инвариантный квадратичный функционал, называемый энергией;

в) уравнение имеет решение типа уединенной волны,

г) функции, обращаемые оператором в нуль и исчезающие при могут быть лишь кратными

Пусть —интеграл уравнения, такой, что

д) он дифференцируем в смысле Фреше и

е) его градиент исчезает при

Тогда где Р зависит от 1 и с, т. е. любое решение типа уединенной волны есть собственная функция градиента интеграла уравнения эволюции.

Доказательство. Пусть и — любое решение вариационного уравнения (предположение а) и есть решение типа уединенной волны уравнения (4.31) (предположение Тогда по теореме 5

не зависит от . В силу трансляционной инвариантности скалярного произведения (предположение (б)),

не зависит от Для краткости запишем

тогда (4.40) можно записать в виде

и это выражение не зависит от Дифференцируя (4.42) по и замечая, что и - независимые переменные, получаем

где, согласно где так что

Подставляя (4.44) в (4.43), имеем

Запишем последнее в сопряженной форме

где V — оператор, сопряженный к Значение в любой момент времени, скажем при может быть произвольным, следовательно, из (4.46) получим

Из предположения следует, что (4.31) выражает сохранение энергии, т. е. не зависит от так что, дифференцируя по имеем или Начальные значения и произвольны. Введем вместо и. Дифференцируя по и полагая получаем

Так как произвольное решение вариационного уравнения, мы считаем его произвольным в момент следовательно, последнее уравнение означает, что

Так как мы рассматриваем решения типа уединенной волны, вместо будем писать и тогда из (4.31) получим

Подставляя вместо и и из (4.49) в (4.48), получаем

Значит решения типа уединенной волны принадлежат ядру линейного оператора

Сравнивая (4.47) и (4.50) и применяя предположения имеем

где зависит от с и так как градиент интеграла

Примечание. Граничные условия для не вызывают затруднений, так как по предположениям обе функции стремятся к нулю при

Доказательство теоремы 6 завершено.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление