Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.4. Применение общей теории к уравнению КдФ

Применим общую теорию к уравнению КдФ и посмотрим, придем ли мы к результатам, полученным ранее. Для уравнения

Обозначим однопараметрическое семейство решений этого уравнения через которое единственным образом определяется однопараметрическим семейством начальных данных Вариация дается выражением

так что

Отсюда мы заключаем, что зависит от . Следовательно, удовлетворяет условию теоремы 6.

Исследуем далее сопряженный оператор определив предварительно скалярное произведение. Так как мы имеем дело с функциями из класса на вещественной прямой достаточно взять скалярное произведение в Таким образом,

Из этого определения скалярного произведения имеем

так как при Отсюда

Согласно (4.54), вариационное уравнение, определяющее в этом случае имеет вид Пусть теперь оператор Шредингера:

ясно, что симметричен. Следовательно, по теореме 3 собственные значения оператора в котором функция удовлетворяет уравнению КдФ, не зависят от при условии, что существует антисимметричный оператор А, такой, что

Дифференцируя по получаем

Из уравнений (4.58) и (4.59) ясно, что теорема 3 в настоящем случае удовлетворяется, если

Так как правая часть уравнения (4.60) содержит производные третьего порядка, предположим, что А является следующим антисимметричным оператором третьего порядка: Выполняя дифференцирование, можно показать, что

Чтобы это выражение было просто произведением на функцию в правой части (4.60), мы должны выбрать

и тогда

так что (4.60) будет удовлетворяться, если мы возьмем Это доказывает существование антисимметричного оператора А, удовлетворяющего (4.58). Следовательно, для этого случая имеет место теорема 3 и собственные значения оператора Шредингера (4.57) не зависят от

Здесь следует отметить удивительную элегантность изложенного выше доказательства. Первые доказательства этого результата были громоздки и основывались в значительной мере на физических соображениях.

Найдем градиент интеграла . В соответствии с определением (4.38) имеем

где определяется из Беря производную Фреше от последнего уравнения, имеем

Следовательно, (4.65) сводится к уравнению Умножая его на и интегрируя по от до имеем

Здесь использованы следующие условия:

Следовательно, из (4.64) и (4.67) имеем

Таким образом, удовлетворяет условиям теоремы 6, а именно дифференцируема в смысле Фреше и при так как при Условие теоремы 6 также выполняется, потому что мы показали в гл. 3 существование решений типа уединенной волны для уравнения КдФ. Условие теоремы 6 также выполняется, поскольку для уравнения КдФ квадратичный функционал не зависит от времени.

Докажем, что условие теоремы 6 для настоящего случая также выполняется. Пусть X — функция, обращаемая в нуль оператором так что при Тогда имеем

Если теперь перейдем в уравнении КдФ к координате то для решения типа уединенной волны получим

где при Итак, из уравнений (4.69) и (4.70) получаем

Предыдущее рассмотрение показывает, что уравнение КдФ, так же как и интеграл к удовлетворяет всем условиям теоремы 6. Поэтому имеем

где зависит от и с. Из (4.72) получаем

Чтобы установить соотношение между интегралом который является собственным значением оператора Шредингера где решение типа уединенной волны уравнения КдФ, и собственной скоростью поступим следующим образом. Дифференцируя дважды собственную функцию оператора Шредингера, заданную выражением (4.73), получим

так что

Здесь учтены формулы полученные путем двукратного интегрирования (4.70) и использования граничных условий на и производных от при Левая часть (4.74) равна также

Поэтому из (4.74) и (4.75) получаем следующий важный результат:

который доказан в гл. 3 методом обратной задачи рассеяния. На самом деле в гл. 3 мы доказали более общий результат: если решение уравнения КдФ есть безотражательный потенциал уравнения Шредингера, то собственному значению оператора Шредингера соответствует солитон, движущийся со скоростью на бесконечности. Мы должны, однако, связать эти собственные скорости с произвольным решением уравнения КдФ, которое не обязательно является безотражательным потенциалом, но заключает в себе эти индивидуальные солитоны, проявляющиеся только в асимптотическом поведении Этот вопрос мы обсудим в следующем разделе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление