Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.5. Собственные скорости общего решения уравнения КдФ

Докажем, что если с — собственная скорость решения уравнения КдФ (не обязательно безотражательного), то с является собственным значением оператора Шредингера

Пусть произвольное решение уравнения КдФ, асимптотически распадающееся на некоторое число уединенных волн. Рассмотрим одну из них: движущуюся со скоростью с, т. е.

где -константы. Следовательно, для любых положительных чисел и X существует положительное число такое, что

Заметим, что X может быть сколь угодно большим. Однако для фиксированного При неравенство (4.78) принимает вид

Пусть оператор Шредингера записанный для Сначала докажем, что является приближенным собственным значением, а приближенной собственной функцией оператора в том смысле, что

где -норма в при и . Заметим, что является собственной функцией, соответствующей собственному значению оператора не . В общем случае не является собственной функцией оператора Итак,

что следует из (4.80) при . В этом интервале неравенство (4.82) дает оценку для

Получим теперь оценку для этого выражения вне указанного интервала.

В области вне интервала поступим следующим образом. Предполагая, что решения уравнения КдФ равномерно ограничены по времени, обозначим через М верхнюю грань Затем из соотношения

и выражения (4.8) для получим

На интервале используя имеем

Аналогично для получим

Поэтому, согласно выбранной норме,

Из неравенств (4.82) — (4.85) получим

Так как норма не равна нулю и конечна, то из полученного неравенства вытекает (4.81), где при Таким образом, лежит в -окрестности точки спектра оператора . Так как при и а спектр оператора не зависит от Т, то мы заключаем, что собственное значение оператора

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление