Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.2. Процедура усреднения

Изучение уравнения КдФ показало, что оно допускает стационарное решение вида

где константы интегрирования, число которых зависит от порядка уравнения относительно пространственных производных. В данной главе мы будем рассматривать только такие нелинейные уравнения, которые имеют решения вида (5.1).

Очевидно, что решение такого вида осциллирует между двумя последовательными нулями функции скажем ; причем при этом функция в этом интервале положительно определенна. Условие положительной определенности между необходимо для обеспечения вещественности Пусть и значения при которых

Тогда по аналогии с линейной волной мы можем определить длину волны для нелинейной волны:

и затем волновое число определяется обычным образом:

а частота в виде

Для периода волны мы имеем следующее выражение:

Для краткости записи мы не будем всякий раз показывать явно зависимость от с и Решение (5.1), где с и

константы, описывает волну локально. По прямой аналогии с линейными волнами мы можем получить более общее решение, полагая с и медленно меняющимися функциями Далее будет разработан метод определения зависимости этих параметров от

Сначала мы должны ввести некоторую процедуру усреднения, чтобы исключить быстрые осцилляции полевых переменных, имеющие место на малых отрезках изменения

Р). Только тогда можно рассматривать медленные изменения параметров с и и через них изменения параметров и т. д. Чтобы избежать в процедуре усреднения потерю существенных изменений величин и т. д., ограничимся рассмотрением временных и пространственных интервалов, много меньших чем Предыдущее обсуждение предполагает введение функций от принимающих промежуточные значения

и поэтому мы определим среднее в произвольной точке для фиксированного значения времени соотношением

Для проведения усреднения Уизем записал основные уравнения в форме законов сохранения. Мы воспользуемся законом сохранения

Подвергнем его процедуре усреднения с целью получить дифференциальные уравнения для определения с и которые не содержат явно. Тогда

Таким образом, усредняя (5.9), получаем

Уизем указывает, что преимущество выбора закона сохранения в качестве исходного уравнения состоит в том, что оба члена в уравнении (5.11) одного и того же порядка Если бы в нем фигурировал недифференцируемый член, скажем то для того, чтобы подсчитать его с точностью до порядка потребовалось бы более детальное решение, чем

Заметим, что в уравнении (5.11) величины по-прежнему зависят явно от Для устранения этой явной зависимости рассуждаем следующим образом. Интервал где X много больше Я, содержит большое количество волн, для которых в силу (5.7) мы можем считать и т. д. более или менее постоянными величинами. В этом случае мы можем заменить соответственно величинами которые усреднены при сохранении и т. д. постоянными на интервале Ясно, что в этом приближении возникающие ошибки имеют порядок которые являются малыми величинами в силу (5.7).

Теперь заметим, что среднее есть приблизительно тоже, что и среднее от по периоду. Это опять следует из большого числа волн постоянной амплитуды на интервале . Таким образом,

где отражает функциональную зависимость от Ф. В терминах средних, определенных в (5.12), усредненный закон сохранения выглядит так:

где с и медленно меняющиеся функции

Теперь мы знаем, что для определенных задач имеется бесконечное число законов сохранения и, следовательно, бесконечное число усредненных уравнений типа (5.13). Поэтому для успеха применения этого метода важно знать, что из этого бесконечного числа уравнений сохранения независимых уравнений ровно столько, сколько параметров с и которые мы должны определить. Во всех задачах, рассмотренных до сих пор, число независимых осредненных уравнений сохранения в точности равно числу неизвестных параметров. Однако до сих пор нет общего доказательства этого факта, и

секрет доказательства предположительно заключается в трансформационных свойствах основной системы уравнений.

Различные исследования показали, что если по аналогии с адиабатическим инвариантом в гамильтоновой механике ввести функцию то во многих случаях удается выразить волновое число, частоту и другие параметры, связанные с волной, через первые частные производные от по с и Более того, во многих случаях система уравнений в частных производных, определяющая эти производные от оказывается гиперболической. Следовательно, находя характеристики гиперболической системы, мы определим характеристические скорости для данной волны. Соответствующие условия совместности дают величины, постоянные вдоль этих характеристик. В общем случае мы имеем более чем одну характеристическую скорость; мы должны уточнить, которая из них будет определяться как групповая скорость. Прямая аналогия с линейным случаем не поможет, если все характеристические скорости окажутся равными групповой скорости. Этот вопрос мы рассмотрим еще раз в связи с примерами, которые обсудим в следующем разделе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление