Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.3. Примеры

В этом разделе рассмотрим приложения вышеописанного метода Уизема на примерах, которые также были рассмотрены Уиземом. Для проверки надежности метода Уизема сначала решим линейное уравнение, а затем — два нелинейных уравнения, одно из которых будет уравнением КдФ.

5.3.1. Линейная волна

Применим сначала метод разд. 5.2 к следующему линейному уравнению:

которое остается инвариантным под действием преобразований Чтобы получить стационарное решение, положим

Тогда (5.14) принимает вид

Интегрируя его, получим

для положительной ветви, причем

Таким образом,

Функция осциллирует между — поэтому определим

и затем

Подставляя в (5.14), получаем дисперсионные соотношения одно из которых совпадает с (5.21). Умножая (5.14) на и перегруппировывая члены, получаем следующие уравнения сохранения, которых достаточно для определения изменения с и с изменением

из которых в силу (5.15) следует

Подставляя значения из (5.18) в (5.22в) и (5.22г), получаем

При осреднении по длине волны эти уравнения принимают

Так как нас интересует изменение волнового числа выраженного только через с в уравнении (5.20), и амплитуды перепишем наши уравнения в виде

Комбинируя их соответствующим образом, в силу дисперсионного уравнения (5.21) получаем

Эти уравнения имеют «двойную» характеристику

вдоль которой

Итак, в случае линейного уравнения (5.14) система, определяющая изменения и а, является параболической и существует только одна характеристическая скорость, которая равна групповой.

Общее решение уравнения (5.24а) имеет форму где произвольная функция. Записывая это решение в форме для больших значений находим

Из уравнения (5.266) видно, что, когда мы движемся с групповой скоростью, амплитуда изменяется как

Таким образом, амплитуда убывает обратно пропорционально квадратному корню из что подтверждает общий результат, полученный в гл. 1.

Определим скорость распространения энергии. Пусть расстояние между двумя соседними характеристиками, отвечающими Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то в силу уравнений (5.25) и (5.266) производная по времени от изменения энергии между двумя характеристиками пропорциональна

Значит, энергия также распространяется с групповой скоростью. Так же как в линейной задаче, мы имеем одну характеристическую скорость, а именно групповую скорость.

5.3.2. Нелинейное волновое уравнение

Изучим далее нелинейное волновое уравнение

где нелинейная функция, как предполагалось в разд. 5.3.1. Как и в предыдущем разделе, мы можем легко вывести уравнения сохранения

Здесь стационарное решение дается формулой

где

Предполагая получаем

где нули уравнения

между которыми левая часть последнего уравнения положительна. Следуя общей теории, рассмотренной в разд. 5.2, введем

зависит только от и не зависит от с. Дифференцируя по А, получаем

Мы можем также записать в виде

Беря частную производную (5.35в) по А, из (5.37) находим

Определим волновое число соотношением

где мы для удобства опустили множитель Как только определена длина волны X, сразу можно вычислить средние значения интегрированием в пределах длины волны:

В силу предыдущего определения среднего значения имеем

Беря частную производную от (5.356) по с, получаем

Подставляя эти усредненные выражения в уравнение сохранения, имеем следующее осредненное уравнение сохранения:

где при записи второго члена в уравнении (5.45) мы добавили и вычли эквивалентное ему выражение Выполняя дифференцирование и собирая коэффициенты при имеем

так как коэффициент при с равен нулю в силу (5.46) и коэффициент при А тоже равен нулю в силу

Определяя частоту через волновое число и волновую скорость с, имеем так что уравнение (5.47) можно записать в виде

Уравнение (5.48) чрезвычайно важно, так как мы установили кинематическое соотношение основываясь целиком на процедуре усреднения. Более того, вдоль характеристики волновое число (и, следовательно, сохраняется.

Мы можем записать два независимых усредненных уравнения сохранения в удобной форме:

где

Выражая неизвестные в этих уравнениях через и с с помощью соотношений (5.40) и (5.44) (после замены на получим уравнения

которые имеют следующие две характеристики:

с соотношениями совместности на характеристиках

Эти уравнения определяют два инварианта Римана

Уравнение (5.54) определяет две характеристические скорости Этот факт отражает природу решения. Рассмотрим, например, волн, имевший вначале постоянную форму с вне некоторого ограниченного отрезка. После некоторого периода взаимодействия

возмущение разделяется на две простые волны, разделенные областью постоянных значений и с. В одной простой волне характеристики суть прямые линии, на которых константы, и другой инвариант Римана — константа во всей области. Во второй простой волне постоянно везде, константа вдоль характеристик которые являются прямыми линиями. Между этими двумя простыми волнами величины с и постоянны. Так как волновое число и амплитуда выражаются через с и к ним применимы те же качественные утверждения.

Рассмотрим теперь распространение энергии. Полная энергия системы на единицу длины равна

и имеет среднее значение

Средний поток энергии определяется из усредненного уравнения сохранения (5.45) в следующем виде:

Следовательно, скорость распространения энергии равна

Это другая важная скорость. Таким образом, в данном нелинейном случае существуют две характеристические скорости и скорость распространения энергии, причем одну из них мы должны приписать групповой скорости. Иначе говоря, понятие «группа волн», которое обсуждалось в гл. 1, должно быть уточнено, поскольку все три скорости одинаково важны. Возможно, что мы все же можем называть групповой скоростью скорость распространения энергии.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление