Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.4. Уравнение Кортевега — де Фриза

Цель настоящего раздела — определить характеристические скорости уравнений модуляции, которые получаются из уравнения КдФ, записанного в форме

Чтобы получить стационарные решения, сделаем подстановку

после чего оно приведется к форме

Проинтегрировав его, получим

Умножая это уравнение на и интегрируя, имеем

где константы интегрирования.

В гл. 2 мы видели, что в общем случае, когда (5.65) допускает ограниченное решение, полином имеет три вещественных нуля Заметим, что уравнение (5.65) содержит три параметра и, следовательно, необходимо еще три закона сохранения для определения их медленного изменения в зависимости от Сначала установим три независимых уравнения сохранения.

Первое уравнение получается простой перегруппировкой

Второе уравнение получается умножением (5.61) на и и перегруппировкой членов:

Третье уравнение сохранения получается умножением (5.61) на и перегруппировкой членов:

Процесс усреднения упрощается введением функции

где интегрирование должно проводиться по полному циклу, например от до а и затем от а до Как и в длина волны и волновое число определяются путем дифференцирования (5.69) по А следующим образом:

Найдем далее средние полевых величин на длине волны, как это было сделано в общей теории в разд. 5.2. Тогда

так как

и, наконец,

Подставляя эти средние в уравнения сохранения, получаем следующие усредненные уравнения сохранения:

Как и в разд. 5.32, распишем (5.81), сохраняя вместе и собирая отдельно члены с производными по с. В результате получим уравнение

которое является законом сохранения для волнового числа, определенного здесь полностью согласно процедуре усреднения. Уравнение (5.82), выраженное через

имеет вид

и уравнения (5.79) и (5.80) могут быть записаны как

где

Уравнения (5.83) — (5.85) суть основные уравнения для изучения медленного изменения с. Эта информация позволит окончательно определить поведение где из (5.65) имеем

Хотя уравнения (5.83) — (5.85) кажутся простыми, определять характеристическую скорость из них очень утомительно. Оказывается, легче работать с нулями у функции чем с с. Из соотношений между корнями и коэффициентами кубических уравнений имеем

В терминах у можно записать как

так что

где полные эллиптические интегралы:

и аргумент

При установлении этих соотношений мы использовали следующее:

Из (5.90) получаем важное соотношение

Тогда из (5.88) имеем

где

Эти соотношения определяют частные производные у по с, Далее мы можем выразить частные производные от по с, через частные производные от по

где для удобства записи мы опустили аргумент в функциях Обозначая теперь точкой производную применяя этот оператор к (5.97) и используя

имеем

Запишем усредненные уравнения сохранения через производные от

Заметим, что эта система уравнений инвариантна относительно циклической перестановки Чтобы привести эти уравнения к характеристической форме, умножим (5.101) на Я, (5.102) на и прибавим их к (5.103). Если выбрать Яиц такими, что коэффициенты при равны нулю, то

При этих значениях Яиц мы находим, что оба коэффициента при равны в то время как коэффициенты при оба равны выражению где для упрощения использованы соотношения (5.104). Таким образом, наши уравнения сводятся к уравнению

Учитывая инвариантность относительно циклической перестановки получаем два других уравнения при помощи этой перестановки. Из (5.105) и двух аналогичных выражений находим следующие характеристические скорости:

где Соответствующими соотношениями совместности вдоль характеристик являются Волновое число выражается в виде так что можно написать

тогда три скорости распространения записываются как

где функция зависит от а и через комбинацию Следовательно, предел при отвечает линейному случаю и должен воспроизводить результаты для линеаризованного уравнения КдФ

Фурье-компонента, соответствующая

определяет следующее соотношение для (5.109):

В пределе скорости распространения (5.106) сводятся к следующим:

Ясно, что первые две скорости в (5.112) равны групповой скорости, которая дается уравнением (5.111). Появление в (5.112) третьей скорости, а именно 0, может быть объяснено следующим образом. Решение уравнения (5.109) типа стационарной волны имеет вид

и осредненные уравнения в линейной задаче дают что соответствует нулевой скорости в (5.112). Однако мы должны помнить, что в линейной теории решение обычно определяется с точностью до несущественной аддитивной постоянной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление