Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.5. Групповая скорость: динамическая трактовка

Рассмотрим общую континуальную систему. Пусть локальные переменные, или характерные параметры, определяющие состояние системы, и лагранжева плотность, т. е. лагранжиан, отнесенный к единице объема. Рассмотрим систему, где функция от и их первых производных:

не содержащая независимых переменных, в. пространственных координат и временной координаты Таким образом, имеем

Принцип Гамильтона определяет временную эволюцию системы и заключается в том, что «интеграл по времени от лагранжиана стационарен», что в обычной математической записи выглядит так:

для любых вариаций функций которые обращаются в нуль в начале в конце произвольного интервала времени, а также на границе произвольного объема V трехмерного пространства по которому ведется интегрирование в (5.116). Из (5.116) следуют уравнения Лагранжа

Полная плотность энергии системы в точке дается формулой (Гольдстейн [1950])

откуда в силу (5.117) имеем

где

Из (5.119) ясно, что вектор представляет собой поток энергии. Ясно также, что энергия прямоугольного элемента с гранями, параллельными координатным плоскостям, изменяется со скоростью, равной разности потоков энергии через противоположные грани элемента.

Для периодических плоских волн мы можем определить, скорость распространения в виде

где обозначает среднее от энергии, полученное осреднением по целому числу длин волн или периодов. В терминах усредненное уравнение (5.119) принимает вид

Если нас интересуют только плоские периодические волны, мы можем использовать принцип Гамильтона в слегка измененной форме.

Плоская периодическая волна удовлетворяет условию

для всех вариаций которые периодичны с теми же самыми частотой и волновым числом, как и сама при условии, что равно периоду, умноженному на целое число, и -прямоугольный объем, четыре грани которого перпендикулярны фронту волны, а длина ребра составляет целое число длин волн.

Доказательство этого принципа, как показано ниже, более или менее очевидно. Имеем

Первый член равен нулю в силу уравнений Лагранжа (5.117), второй член обращается в нуль при интегрировании по и использовании того, что равно целому числу периодов, и третий член равен нулю в силу использования теоремы Гаусса и того факта, что интегралы по противоположным граням объема V, разделенным целым числом длин волны, обращаются в нуль и что нормали к поверхностям интегрирования внешние.

В линейном случае, т. е. в случае инфинитезимальных амплитуд, можно показать, что Для начала рассмотрим классический динамический случай. Здесь разность кинетической и потенциальной энергий, так что разность средней кинетической и средней потенциальной энергий — равна нулю.

В общей системе, подчиняющейся принципу Гамильтона, для волн инфинитезимальной амплитуды однородная функция второй степени по всем переменным, являющимся ее аргументами. Следовательно, если заменить каждое на

то лагранжиан превратится в и указанный выше вариационный принцип примет вид

и, следовательно,

что означает . В случае нелинейной волны не обязательно однородная функция своих аргументов, и, следовательно, для такой волны в общем случае Далее посмотрим, можно ли выразить групповую скорость в виде

в случае плоских волн конечной амплитуды, как это было для волн бесконечно малой амплитуды. В гл. 2 мы видели, что в случае нелинейных волн есть функция не только волнового числа , но также амплитуды и других параметров, которые были названы Уиземом [1965] псевдочастотами. Однако здесь мы не будем их рассматривать. Таким образом, выражение (5.124) может иметь смысл производной при постоянных компонентах к, отличных от а также некоторой меры амплитуды.

Уизем [1965] показал, что (5.124) выполняется, если две компоненты вектора к, отличные от остаются фиксированными, т. е.

Заметим, что классический результат для линейных волн — частный случай соотношения (5.125), так как для таких волн Докажем (5.125) для общего случая. Рассмотрим плоские периодические волны в форме

где все функции периодические по с периодом Р. Без ограничения общности положим так как это просто означает нормировку переменной Из (5.126) имеем

Рассмотрим произвольное возмущение, при котором, вообще говоря, частота и волновое число изменяются:

где имеет период 1 точно так же, как и функция Итак, имеем

Заметим, что первый член в правой части (5.130) дает вклад в общую вариацию, происходящий от варьирования при фиксированных со и и должен обращаться в нуль в силу принципа Гамильтона для плоских периодических волн для вариаций при постоянных частоте и волновом числе, в то время как второй и третий члены, будучи помноженными на могут быть выражены через средние значения, которые появляются в (5.121). Таким образом,

Если то

Подставляя (5.132) в (5.131), имеем

откуда с помощью (5.121) следует (5.125),

Величина которая сохраняется фиксированной в (5.125), является интегралом лагранжевой плотности по времени в пределах одного периода. Это величина, которая остается стационарной, когда мы переходим от периодического решения ; к близкому периодическому с теми же самыми частотой и волновым числом, что и но в общем не являющемуся решением. Это объясняет неожиданное обстоятельство в последнем доказательстве, а именно то, что функции (5.128) с возмущенными частотами и волновыми числами, являющиеся решениями уравнений движения, не использовались в доказательстве. Это не было необходимо, потому что было бы таким же, как и для близких функций, которые не являются решениями, т. е. мы могли бы доказать теорему для более общих возмущений не являющихся решениями уравнений движения.

Формула (5.125) была получена Уиземом [1965]. Этот результат следует считать выдающимся, поскольку он переносит обычную формулу для групповой скорости линейных волн на случай нелинейных волн, при условии что псевдочастота фиксирована. Заметим также, что лагранжева формулировка позволяет нам естественным и изящным способом перейти к трехмерному случаю.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление