Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.2. Линейное волновое уравнение: волновая терминология

Начнем со знаменитого волнового уравнения

где описывает некоторое свойство, связанное с волной, а положительная константа. Это уравнение определяет пространственно-временную эволюцию величины в однородной изотропной консервативной системе. Заметим, что и в самом общем случае мы определим волну как пространственно-временную эволюцию некоторого состояния.

Мы можем записать общее решение (1.1) в виде

где произвольные функции. Первый член в (1.2), как известно, представляет распространяющуюся волну, бегущую в положительном направлении оси с постоянной скоростью с, а второй член — распространяющуюся волну, бегущую с той же скоростью в отрицательном направлении оси

Аргумент волны называется ее фазой. Аналогично называется фазой волны Очевидно, что является константой в пространстве-времени, если если Таким образом, наблюдатель, движущийся вместе с волной со скоростью с, будет всегда отмечать одну и ту же фазу волны одно и то же состояние волнового движения, соответствующее начальному значению величины Аналогично наблюдатель, движущийся со скоростью вместе с волной будет всегда регистрировать одну и ту же фазу одно и то же значение с которого он начал движение. Изложенное выше придает физический смысл терминам фаза и скорость волны, называемой также фазовой скоростью.

В периодической распространяющейся волне (скажем, когда -периодическая функция точка, в которой имеет максимум, называется гребнем, а точка, в которой минимальна, — впадиной волны.

Пользуясь терминологией гиперболических уравнений в частных производных, к которым принадлежит (1.1), мы скажем, что это уравнение обладает двумя вещественными характеристиками в плоскости

Здесь вдоль первой характеристики вдоль Таким образом, уравнения являются условиями совместности.

Заметим, что описываемый уравнением (1.1) факт распространения воли в двух противоположных направлениях не является неожиданным. Это уравнение инвариантно относительно преобразования

время в нем обратимо, и мы можем изучать будущее волны с таким же успехом, как и ее прошлое. В противоположность этому в гл. 2 мы рассмотрим однонаправленные эволюционные уравнения.

Конкретизируем теперь функции положив, например,

где постоянные. Тогда

представляет периодическую бегущую волну с амплитудой а и волновой скоростью с, определяемой равенством

Выражение (1.6) является решением уравнения в частных

производных (1.1) при начальных условиях:

Для фиксированного величина изменяется синусоидально по как показано на рис. 1.1.

Для любого момента времени точки где соответствуют максимальным значениям т. е. гребням волны, а точки -минимальным значениям т. е. впадинам. Термины гребень и впадина отражают геометрическую форму графика функции (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Зависимость от при фиксированном

Расстояние между двумя последовательными гребнями (или впадинами) называется длиной волны и обозначается через :

Из (1.6) ясно, что определяет число волн, укладывающихся на отрезке единичной длины (в данном случае за единицу длины принято и называется волновым числом. Все точки на графике функции в данный момент времени с разностью абсцисс, кратной К, находятся в одинаковой фазе.

В фиксированной точке с абсциссой, равной, например, функция колеблется со временем имея период

Величина называется (угловой) частотой волны; она определяет число волн, прошедших через данную точку в единицу времени (здесь за единицу принято Если вместо (1.5) возьмем

то

В этом случае мы можем изучать изменения величины по времени и по пространственной координате независимо

друг от друга. Такой выбор соответствует, очевидно, следующим начальным условиям для

Точки в которых все время называются узлами волны. Точки в которых достигает максимальных значений, называются пучностями. Решение (1.12) получается в результате суперпозиции двух синусоидальных бегущих волн, имеющих равные амплитуды, длины волн и частоты и распространяющихся в противоположных направлениях. Во всех точках, за исключением узлов, функция колеблется с периодом Р, ее амплитуда в пучностях максимальна и равна 2а, т. е. сумме амплитуд составляющих компонент — волн Поскольку при этом нег переноса энергии или количества движения между участками волны, разделенными узлами, волна, представленная выражением (1.12), называется стоячей. Узлы и пучности характерны для стоячей волны.

Из сказанного выше ясно, что решение уравнения (1.1) при одних условиях описывает бегущую волну, а при других — стоячую. Мы также знаем, что поперечные волны в туго натянутой струне, точки которой движутся перпендикулярно направлению распространения волны, математически описываются уравнением (1.1). Это уравнение описывает также продольные звуковые волны в воздухе, когда частицы воздуха колеблются относительно своего среднего положения в направлении распространения волны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление