Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.3. Общее линейное уравнение; дисперсионное соотношение

Указанные выше термины мы ввели с помощью уравнения частного вида, называемого стандартным линейным волновым уравнением. Рассмотрим теперь общее линейное уравнение в частных производных от двух независимых переменных

где линейный дифференциальный оператор Если заданы начальные условия

то с помощью преобразования Лапласа это уравнение можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению от переменной в предположении, что функции достаточно гладкие. Обыкновенное линейное дифференциальное

уравнение при выполнении определенных условий можно решить по крайней мере в принципе, если заданы необходимые краевые условия. Однако в данный момент нас не интересует такой подход, поскольку мы заняты общим изучением уравнения (1.14). В силу линейности этого уравнения можно построить общее решение в виде суперпозиции различных фурье-компонент. Для этого подставим в уравнение (1.14)

предположив теперь, что независимые переменные не входят явно в это уравнение и что оно однородное. Такая подстановка исключает все производные по и приводит (1.14) к следующему соотношению:

где параметры, фигурирующие в уравнении (1.14). Уравнение (1.17) является дисперсионным соотношением, определяющим частоту волны со в зависимости от волнового числа и параметров Запишем его формально в виде

Число корней уравнения (1.17) зависит от степени этого алгебраического уравнения относительно со. Очевидно, равно порядку высшей производной по в уравнении (1.14). Будем рассматривать каждый корень уравнения (1.17) в отдельности, поскольку каждый из них порождает отдельную волну, называемую модой

Рассмотрим произвольный корень

Здесь мы опустили зависимость со от так как в предстоящем рассмотрении эти параметры не играют существенной роли. Соответствующая фурье-компонента выражается в виде

Временная эволюция величины зависит от свойств величины Рассмотрим следующие случаи:

1. Если со вещественна, то приведенная выше фурье-компонента представляет гармоническую бегущую волну.

2. Если чисто мнимая величина, то

и мы получим нераспространяющуюся стоячую волну. Если то с ростом экспоненциально возрастает, а если то экспоненциально затухает с ростом Таким образом, в первом случае мы имеем дело с нарастающей (усиливающейся) волной, а во втором случае — со спадающей (затухающей) волной. В первом случае начальное возмущение системы неограниченно растет, и говорят, что система нестабильна относительно данной моды. Во втором случае говорят, что система относительно данной моды стабильна.

3. Пусть где вещественны. Тогда

и при получаем гармоническую волну с экспоненциально убывающей амплитудой. Система в этом случае будет стабильной относительно рассматриваемой моды. Если то получим гармоническую волну с экспоненциально нарастающей амплитудой. Система оказывается нестабильной относительно рассматриваемой моды; Эддингтон [1926] называет такой тип нестабильности перестабилизовакностью, так как она порождена восстанавливающей силой столь интенсивной, что эта сила заставляет проскакивать положение равновесия системы. Такая сила порождает колебания с возрастающей амплитудой.

Проведенное выше обсуждение дисперсионного соотношения ясно показывает важность этого соотношения при рассмотрении отклика системы на начальное возмущение, которое в первый момент предполагается бесконечно малым. Дисперсионное соотношение дает, кроме того, основу для другой классификации волн. Пусть уравнение (1.19) определяет вещественные со для каждого Если то говорят, что волна диспергирующая. Если то говорят, что волна недиспергирующая. Такая классификация позволяет ввести новую характеристическую скорость, называемую групповой скоростью и обозначаемую через

Наконец, на основе дисперсионного соотношения возможна еще одна классификация волн. Если выражение (1-19) определяет комплексное значение со, то говорят, что волна диссипирующая если действительное, то волна недиссипирующая. Диссипирующие волны связаны с затуханием амплитуды со временем, которое возникает благодаря некоторому диссипативному механизму, имеющему место в системе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление