Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.4. Диспергирующие волны; групповая скорость

Введя понятие групповой скорости и определив формально понятия диспергирующих и недиспергирующиих волн, мы придадим им теперь определенный физический смысл.

Групповая скорость

Рассмотрим суперпозицию двух гармонических бегущих волн, немного различающихся по частоте и волновым числам, но имеющих одинаковые амплитуды:

В результате сложения получим известное выражение для биений:

Величина колеблется с частотой со немного отличающейся от со, и имеет длину волны, немного отличную от Суммарная амплитуда

медленно меняется с периодом и характеризуется длиной волны определяемой как интервал между смежными пучностями. Поскольку малы, период и длина волны А велики.

Рис. 1.2. Возникновение «биений» (групп) в результате суперпозиции двух гаромонических волн.

В результате усиливающей и ослабляющей интерференции графики функции как по временной, так и по пространственной осям представляются в виде ряда периодически повторяющихся групп, показанных на рис. 1.2. Каждая группа состоит из нескольких волн. Поверхность, на которой амплитуда группы остается неизменной, определяется уравнением

Из (1.24) следует, что сами группы распространяются со скоростью

где штрих означает дифференцирование по к. Таким образом, групповая скорость дается выражением

Проведенная выше дискуссия раскрывает физический смысл групповой скорости. Напомним, что мы определили фазовую скорость как отношение

Диспергирующие и недиспергирующие волны

Как фазовая, так и групповая скорости, вообще говоря, являются функциями волнового числа. Легко показать, что если то отличается от и зависит от таким образом, что волны различной длины распространяются с различными групповыми скоростями. Рассмотрим возмущение, возникающее вблизи в момент времени и представляющее суперпозицию ряда гармонических волн различной длины. Так как компоненты возмущения с различными волновыми числами распространяются с различными скоростями, через некоторое время начальное возмущение растянется на некоторый интервал, который будет расти со временем. В этом случае мы говорим, что волна диспергирует. Очевидно, что волновое число меняется вдоль цуга волн медленно.

При фазовая и групповая скорости совпадают и разделения волн с различными волновыми числами не происходит. В этом случае мы имеем недиспергирующую волну.

Пример

Подставив (1.16) в (1.1), получим дисперсионное соотношение так что и волна, описываемая уравнением (1.1), является недиспергирующей и недиссипирующей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление