Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.5. Общее решение линейного волнового уравнения

До сих пор мы рассматривали фурье-компоненты линейной волны. Мы можем получить общее решение уравнения путем сложения этих отдельных фурье-компонент:

где функция волнового числа и параметры задачи определяются дисперсионным уравнением, а спектральная функция учитывает начальные условия. В принципе мы всегда можем построить спектральную функцию данной задачи, хотя иногда это может оказаться довольно

трудоемким. Решение (1.26) соответствует начальному условию

представляющему интеграл Фурье функции , и поэтому функцию можно определить по заданной функции .

Теперь рассмотрим асимптотическое поведение выражения (1.26) при Интересно выяснить, как ведет себя (1.26) по истечении большого отрезка времени где некоторое характерное время, например период Р. Простейшим методом нахождения асимптотического значения (1.26) является метод наискорейшего спуска, называемый также методом седловых точек, или методом перевала. Он требует наименьшего объема сведений о подынтегральных функциях. (В приложении I в конце этой главы мы коротко опишем этот метод; см. также Джеффрис и Джеффрис [1966], Деннери и Крживицкий [1967]. Запишем (1.26) в форме

где фазовая функция задана в виде

Предположим, что -аналитическая функция на комплексной плоскости для фиксированного значения . В большинстве физически интересных задач это предположение справедливо. Седловая точка определяется как точка, в которой фазовая функция принимает стационарное значение. Таким образом, в данном случае седловые точки задаются уравнением

Разрешая это уравнение относительно получим выражение для седловых точек:

Так как путь интегрирования проходит по вещественной оси, достаточно рассмотреть вещественные седловые точки

Для седловой точки метод перевала дает следующее асимптотическое выражение функции при

где

т. e. имеет минимум при

т. е. имеет максимум при

Вклад других седловых точек аналогичен, поэтому, принимая во внимание все седловые точки (пусть их будет получаем

где

Асимптотическое выражение (1.316) для функции является несколько неожиданным по ряду причин:

1. Оно описывает локально гармоническую волну, хотя начальная волна не была гармонической; заметим, что, в силу меняются в зависимости от

2. Асимптотически при остается дополнительная фаза, равная если групповая скорость уменьшается с ростом и равная если групповая скорость увеличивается с ростом

3. Если то на расстояниях порядка и для времен порядка амплитуда волны

уменьшается обратно пропорционально квадратному корню из Это видно из следующего анализа изменения с изменением Предположив, что со" и переписав (1.306) в явной форме относительно для седловой точки получим

Вычислив частные производные по получим

Так как мы рассматриваем большие значения времени и большие расстояния приведенные выше выражения предсказывают относительные изменения порядка лишь для времен и расстояний порядка соответственно. Поэтому на расстояниях порядка и для времен порядка изменениями а значит, и можно пренебречь. Действительно, именно в силу приведенных рассуждений мы пренебрегли изменениями при описании асимптотического поведения величины А в зависимости от на основе выражения (1.35). Весьма эффективная нелинейная теория диспергирующих волн, изложенная в гл. 5, опирается на этот факт.

С первого взгляда спад амплитуды волны в недиссипативной системе кажется удивительным. Однако нетрудно понять, что причиной этому является перераспределение энергии начальной волны на все более растягивающийся волн, удлиняющийся со временем из-за дисперсии. То, что наши доводы правильны, следует из элементарного рассуждения. Энергия между волновыми числами сначала пропорциональна По истечении времени интервал между этими волновыми числами становится равным

Таким образом, теперь плотность энергии пропорциональна Так как плотность энергии волны пропорциональна квадрату амплитуды, амплитуда волны в момент времени оказывается пропорциональной

Примечание. Если то приведенные выше рассуждения следует существенно изменить. Дайтхилл [1965], используя теорию асимптотического поведения интеграла Фурье, показал, что вклад седловой точки в асимптотическом приближении при равен

Таким образом, амплитуда теперь убывает обратно пропорционально кубическому корню из

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление