Главная > Разное > Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.6. Распространение энергии в диспергирующей волне

Теперь мы определим скорость, с которой энергия распространяется в диспергирующей волне. Рассмотрим две волны с волновыми числами возникшие в момент в точке и распространяющиеся со скоростями соответственно. По истечении достаточно большого времени эти волны окажутся в точках где

Здесь и групповые скорости, соответствующие волновым числам . В момент времени значение определяется выражением (1.316), представляющим приближенно гармоническую волну, если пренебречь медленными изменениями в зависимости от Поэтому энергия Е волны, заключенная между может считаться пропорциональной выражению

При в интервале между укладывается несколько длин волн, и мы можем считать и со приближенно постоянными. Осредняя гармонический член, стоящий под знаком интеграла (1.41), получаем выражение

которое после подстановки принимает вид

Но из (1.30б) и (1.30в) имеем

тогда можем рассматривать как функции V, так что интегрирование в принципе может быть проведено и его результат будет зависеть только от и безотносительно к Отсюда мы заключаем, что энергия между двумя точками в волне, возникшей в начале координат и распространяющейся с постоянными скоростями, не зависит от если эти скорости являются локальными групповыми скоростями. Из выражений (1.40) следует

Рис. 1.3. Дисперсия волн, возникающих при

Рис. 1.4. Переход волны, двигающейся с фазовой скоростью, к движению с групповой скоростью.

т. е. растет линейно с Вывод асимптотического выражения (1.316) показывает, что данное волновое число определяет пространственную осцилляцию в точках, определяемых выражением (1.306). Это означает, что если наблюдатель движется вдоль волны с групповой скоростью то он будет всегда фиксировать волну с волновым числом . В следующем разделе мы дадим другое доказательство этого утверждения.

Отметим следующий важный факт. Если мы хотим следовать за волной с заданным волновым числом, то должны двигаться со скоростью Таким образом, через время эта волна будет находиться в точке

а не в точке

В точке будет находиться другая волна с некоторым другим волновым числом таким, что Более того, волна первоначально распространяется со скоростью и по истечении достаточно длительного времени начинает распространяться с групповой скоростью Изложенные выше факты иллюстрируются на рис. 1.3 и 1.4.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление