Главная > Математика > Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Численное определение корней характеристических уравнений

Корни характеристических уравнений можно получить приближенно или из выражений для асимптотических корней, или непосредственно, или с помощью графических методов, как это было описано в § 6. При этом корни могут быть получены с любой желаемой степенью точности различными последовательными приближениями или итерационными методами.

Среди них одним из наиболее важных является способ Ньютона, в котором приближение выражается через предыдущее приближение z по формуле

где есть кратность корня. Другой способ дается формулой

Сходимость в обоих процессах квадратичная.

Если корни простые, то применимо "правило ложного положения”. В нем приближение к данному корню выражается через два предыдущих по формуле

Здесь ошибка в каждом приближении имеет порядок произведения ошибок двух предыдущих приближений. Сходимость по скорости

лежит между линейной и квадратичной и имеет в действительности порядок

Когда кратность корня неизвестна, может быть использована итерационная формула

Сходимость в этом процессе всегда квадратичная, но он более сложен, чем (3.53) или (3.54).

При вычислении значений полиномов, которые входят в и его производные, может оказаться полезным эффективный вычислительный процесс, принадлежащий Самюэлсону [1], стр. 260. Пусть требуется вычислить значение полинома

и его производных для где комплексное число. Мы можем записать

где и есть полином степени

Коэффициент при в (3.58) есть так что

Действительные величины могут быть определены подстановкой (3.57) и (3.59) в (3.58) и приравниванием коэффициентов. Это дает следующие соотношения:

Эти уравнения являются основой для простой схемы вычисления величин Затем по (3.60) может быть вычислено Так как известны то известен полином Сопроцесс можно повторить для вычисления и нового полинома Затем можно вычислить по (3.61).

Снова повторяя процесс с заменой на можно вычислить и новый полином Затем можно подсчитать по (3.61), по (3.62).

Процесс можно повторять столько раз, сколько требуется для вычисления всех необходимых производных при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление