Главная > Математика > Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Решение в виде ряда в случае, когда имеется тройной корень характеристического уравнения. Случай максимального затухания

Если

т. е. если есть точка возврата на кривой (4.8), изображенной на фиг. 7, то будет тройным корнем характеристического уравнения. В этом частном случае корни характеристического уравнения упрощаются и все имеют действительные части, равные В самом деле,

где - последовательные ненулевые корни уравнения

Чтобы доказать это, запишем (4.3) в виде

Полагая и отделяя действительную и мнимую части, получаем

Теперь из следует так как если положить в (4.18), то правая часть становится равной что можег равняться и толькр при и — 0.

Предположим теперь, что Тогда Разделив на (4.19) и поменяв местами и и получим

Это невозможно, так как в то время как Поэтому Теперь (4.16) и (4.17) следуют из (4.19).

По Янке и Эмде [11 (стр. 47),

Согласно (4.11), асимптотической формулой для будет

Это дает что сравнимо со значением, приведенным в (4.20). Более точным выражением, чем (4.20), будет, по Янке и

Эмде 111 (стр. 47),

Тогда

Этот случай представляет особый интерес, так как тройной корень характеристического уравнения имеет максимальную возможную кратность и поэтому, согласно § 10 гл. III, когда а и даются формулой (4.15), решение [т. е. (4.22)] уравнения (4.1) имеет наибольшее возможное затухание.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление