Главная > Математика > Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Уравнение y(t)-2ay(t-1)+by'(t-2) = 0

В связи с одной задачей из экономики Тинберген [3] (уравнение рассмотрел уравнение, которое может быть легко приведено к этому уравнению.

Коэффициенты а и постоянны. Начальное условие состоит в том, что функция предполагается заданной, аналитической в окрестности отрезка и удовлетворяющей уравнению при

Уравнение нужно продифференцировать, чтобы сделать и подучить возможность применить теорему 2.4:

Это уравнение вида (2.4) с Условия теоремы 2.4 выполняются, так что уравнение имеет единственное аналитическое решение в окрестности луча дейстбительной оси. Характеристическим уравнением, согласно (2.12), будет

D-диаграмма для этого уравнения содержит точки и (2,2). По (3.12) и (3.13), асимптотические корни даются формулой

для больших положительных целых Все комплексные корни уравнения (6.7) простые. Если то будет двойным корнем. Действительная точка будет двойным корнем тогда и только тогда, когда

Если то будет тройным корнем, а если то тройным корнем будет В дальнейшем мы будем предполагать, что к что условие (6.9) не выполняется, так что все корни простые.

Уравнение (6.7) имеет корень Чтобы найти другие действительные корни, мы положим и запишем (6.7) в виде

Если построить графики левой и правой частей как функций х, то абсциссы точек пересечения получившихся кривых дадут действительные корни. Для того чтобы найти комплексные корни, мы положим и отделим в правом сомножителе в уравнении (6.7) действительную и мнимую части; это дает

При заданных а и графики этих уравнений можно построить без труда. Их точки пересечения дают корни характеристического уравнения, в частности те малые корни, которые не могут быть получены по формуле (6.8). При желании можно повысить точность с помощью методов § 7 гл. III.

Согласно (2.11), ряд, представляющий решение рассматриваемого дифференциально-разностного уравнения, будет иметь вид

где суммирование распространено на все корни характеристического уравнения (6.7), за исключением Этот ряд сходится абсолютно и равномерно на любом конечном интервале в области

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление