Главная > Математика > Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Уравнение y'(t)+ty(t)-ey(t-e) = 0

Малер [1] встретился с функциональным уравнением

в связи с одной задачей теории чисел. Это уравнение изучал также де Брёйн [1] (стр. 329), который получил асимптотическое представление решения, справедливое для больших и.

Если мы определим и формулами

полагая а функцию соотношением

и подставим их в (6.28), то мы получим уравнение

приведенное в заголовке.

Величина постоянна. В качестве начальных условий задается производная интегрируемая и имеющая ограниченную вариацию на и значение в некоторой фиксированной точке такой, что

Так как уравнение (6.31) имеет переменный коэффициент, то теория гл. II не применима. Однако, по теореме 2 приложения А, уравнение (6.31) имеет единственное решение такое, что интегрируема и имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале в области причем, конечно, непрерывна. Из теоремы 1.4 следует, что преобразования Эйлера — Лапласа этих функций существуют и могут быть обращены. Пусть а и такие константы, что Положим

для Тогда

Это можно доказать, подставляя (6.32) в левую часть уравнения (6.31), интегрируя в полученном выражении один член по частям и заменяя на в другом члене.

Дифференциальное уравнение (6.34) имеет решение

для некоторого постоянного с. Согласно (1-26) и (1.31), интеграл в этом выражении должен стремиться к нулю при так что должны положить Тогда

где

Подставляя (6.33) в (6.36) и полагая получаем

Полагая в первом интеграле и во втором, будем иметь

где

Поэтому

где

11 обозначаёт целую часть х. Далее, используя (6.31) и заменяя во второй сумме, получаем

Из этого следует, что не зависит от Поэтому, в силу (6.35) и (6.37),

Отсюда, в силу (6.32), Полагая из (6.38) получим для

Мы получили представление решения в замкнутой форме.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление