Главная > Математика > Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Теория реакции клеток на рентгеновское облучение

Зиверт [1] предложил теорию, объясняющую некоторые химические реакции в клетках, подвергнутых рентгеновскому облучению. Пусть Т обозначает время, концентрацию вещества, подвергнутого облучению, нормальную равновесную концентрацию

этого вещества при отсутствии облучения. Облучение продолжается в течение времени начинается, скажем, при а затем прекращается. Предполагается, что клетки обладают способностью восполнять недостаток или устранять излишек этого вещества, но их реакция происходит с запаздыванием, равным Очевидно, что

Зиверт предложил уравнения

Здесь I — постоянная облучения, зависящая от степени облучения, постоянная, показывающая реакцию клетки на отклонение от равновесной концентрации

Уравнения (6.41) и (6.42) можно привести к виду (4.1) с помощью преобразований

Тогда, согласно (6.40) — (6.42),

Уравнение (6.47) имеет вид (4,1) с

тогда как уравнение (6.48) имеет вид (4.1) с

Оба характеристических уравнения, соответствующие уравнениям (6.47) и (6.48), имеют вид

где определено в (6.49) и (6.50) соответственно. При это уравнение имеет два различных отрицательных действительных корня, которые мы обозначим где Когда эти корни сливаются в двойной корень При

эти действительные корни исчезают. Вместо них возникает пара комплексно сопряженных корней, которые будем обозначать также считая, что знаки и — относятся к корням с положительной и отрицательной мнимой частью соответственно. Кроме этого, уравнение (6.51) имеет бесконечно много других пар комплексно сопряженных корней (используем то же самое соглашение о знаках), крторые можно упорядочить таким образом, что

Численные значения этих корней уже были исследованы в § 6 гл. III. В силу (4.11), асимптотические корни даются формулой

в интересующем нас случае

Ограничимся рассмотрением случаев

исключив тем самым двойные корни.

В силу (4.12), (6.46), (6.47) и (6.49), для будем иметь

где

и штрих возле знака суммы означает, что член, соответствующий опущен. Отсюда, по (6.43), для получим

где

При действует уравнение (6.42). При этом начальные условия для решения следует задавать на интервале Они могут быть получены из (6.55). Преобразования (6.43) и (6.45), примененные к уравнению (6.42), дают (6.48). Нужно применить те же самые преобразования к начальным условиям, так что, в силу (6.55),

для В самом деле,

Решение уравнения (6.48) после сдвига начала отсчета времени на величину выражается формулой (4.12) с учетом (6.50):

для Поэтому для

где

Далее, в силу (6.45), для

Формулы (6.55) и (6.59) дают вместе полное решение.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление