Главная > Математика > Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Задача о сети

Г Пусть бесконечная плоская сеть имеет квадратные единичные ячейки. Будем считать, что на плоскости задана прямоугольная система координат с осями, параллельными нитям сети, так, что точки пересечения нитей имеют целочисленные координаты. Нити будут считаться всюду однородными, не имеющими массы и с постоянным напряжением Т. В каждой точке пересечения нитей мы поместим массу Предположим, что только одна из этих масс, которая расположена в точке первоначально смещена (с нулевой начальной скоростью) перпендикулярно плоскости покоя сети.

Пусть время, нормальное смещение от плоскости покоя массы, помещенной в точке Допуская, что пренебрегая членами порядка выше первого, получаем

где

В качестве начальных условий имеем

Уравнение (8.4) имеет вид (8.1) с

Уравнением, соответствующим (8.2), будет

Это уравнение имеет общее решение

которое удовлетворяет начальным условиям

где точка указывает дифференцирование по третьему аргументу. Мы имеем право добавить индексы к функциям так как эти функции произвольны.

Условия (8.3) будут удовлетворяться, если удовлетворяет уравнениям

- аналогичным уравнениям. Пусть функции в (8.10) удовлетворяют условиям (8.7) для некоторых частных значений и иапример для Тогда

Очевидно, что последнему условию можно удовлетворить, полагая

Каждое из уравнений (8.11) есть уравнение типа, рассмотренного в § 5 гл. VII, с замененным на Ввиду первого из условий (8.12), нам нужна функция влияния (7.24). И» обоих уравнений (8.11) получим

Подставляя эти выражения в (8.9) и полагая имеем

Преобразуя сферические координаты в прямоугольные координаты поворачивая систему координат на 90° вокруг оси х и возвращаясь к сферическим координатам, приведем (8.13) к виду

Полагая в формуле Ватсона и интегрируя от до получаем

Соответственно в (8.14) может быть выполнено интегрирование по которое дает

Формулы (8.14) и (8.16), несмотря на внешний вид их правых частей симметричны относительно Они и (8.13) были выведены Бейтменом ([4], § 7).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление