Главная > Математика > Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Сведение функциональных уравнений к дифференциальноразностным уравнениям

Большое количество функциональных уравнений сводится различными способами к дифференциально-разностным уравнениям. Примеры такого сведения даны Брювье [5], 16], Фьельстадом [1], Идзуми [1], Мышкисом [1], [2], [4], [5], [6] и Зильберштейном [2]. Мы будем рассматривать систему

гдефункция и зависимость между х и у неизвестны.

Для решения такой системы мы подставим в нее

Если

то получается система дифференциально-разностных уравнений.

Если существуют функции которые удовлетворяют этой системе дифференциально-разностных уравнений, то ясно, что функции (8.28) будут удовлетворять системе (8.26), (8.27). С другой стороны, пусть существуют функции которые удовлетворяют системе (8.26), (8.27). Мы можем определить как решение разностного уравнения

и затем положить Тогда Если определить соотношением

Теперь мы используем это преобразование для сведения нескольких простых систем функциональных уравнений к системам разностных или дифференциально-разностных уравнений.

a) Система

преобразуется при помощи (8.28) в систему разностных уравнений

b) Система

является частным случаем системы (8.30) и преобразуется посредством) в систему

Заменяя на во втором уравнении и подставляя его правую часть в первое, получаем

Из (8.33) можно найти после чего может быть получено из (8.34).

c) Уравнение

эквивалентно системе

которая имеет вид (8.32) с Согласно (8.33),

Это уравнение удовлетворяется функцией где любая периодическая функция с периодом 2. Согласно (8.28) и (8.34),

Уравнение

эквивалентно системе

Последняя является частным случаем (8.30), в котором . Согласно (8.31),

Эти уравнения удовлетворяются функциями

где и периодические функции с периодом 1. Следовательно, по (8.28),

Это решение пригодно только при Однако для функция может быть определена непосредственно из (8.37).

е) Уравнение

эквивалентно системе

По (8.28)

Первое из этих уравнений дает где периодическая функция с периодом 1. Если мы положим то соответствие между становится однозначным для Для мы можем положить Полагая имеем

Преобразование

приводит (8.40) к уравнению § 6 гл. VI с

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление