Главная > Математика > Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Геометрическая задача

Пуассон ([1], стр. 142) рассмотрел следующую задачу: требуется найти кривую, у которой квадрат нормали в любой ее точке минус квадрат ординаты, измеренной вверх от основания нормали, есть постоянная величина, равная 1.

На плоскости (фиг. 33)

Фиг. 33.

Пусть уравнение искомой кривой, и пусть Р обозначает точку на этой кривой. Тогда это точка точка Согласно (8.42),

Теперь положим

Тогда из (8.43)

Эти уравнения имеют вид (8.26), (8.27). Согласно (8.28), имеем

Подставляя (8.47) в (8.48) и заменяя на получаем

Продифференцируем это выражение:

Используя (8.47) для исключения функции найдем

Это уравнение имеет общее решение

где периодические функции с периодом 1.

Из (8.49) и (8.50) следует, что

Это уравнение имеет решение

где периодическая функция с периодом 1.

Следовательно, по (8.28), искомая кривая будет иметь уравнения

где, согласно (8.47), (8.50) и (8.51),

и где и произвольные дифференцируемые периодические функции с периодом 1.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление