Главная > Математика > Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Малые изменения характеристического уравнения

Когда характеристическое уравнение имеет близко расположенные корни, условия (9.21), вообще говоря, перестают удовлетворяться. Для того чтобы обойти эту трудность, можно произвести малые изменения в характеристическом уравнении, которые преобразуют близкие корни в совпадающие, т. е. в кратные корни, а последние можно изучать методами, изложенными выше. С другой стороны, иногда удобно несколько переместить с помощью незначительного изменения характеристического уравнения простые корни.

Будем считать, что малое изменение левой части уравнения (9.1) компенсируется малым изменением правой части; таким образом, (9.1) эквивалентно уравнению

где

Тогда характеристическим уравнением, соответствующим (9.43), будет

где

В этом параграфе мы будем рассматривать (9.43) как данное уравнение, как измененное уравнение. Мы будем предполагать, что какие бы другие изменения ни были сделаны, измененное уравнение будет таким, что его близкие корни станут совпадающими. Тогда около корня характеристического уравнения (9.6) можно провести круг радиуса не содержащий никаких других корней уравнения (9.6). Пусть будет таким кругом, описанным вокруг Так как функция и ее производные ограничены на то существуют постоянная и целое число , такие, что

Это всегда возможно при некоторых случаях, когда несколько первых производных функции малы в точке условие (9.48) может удовлетворяться для

По лемме 3 приложения В, уравнение (9.46) имеет корней внутри круга радиуса с центром в точке По формуле Тейлора, для

где — точка на линии, соединяющей и Это дает

где есть корень уравнения

из которого следует, что

Теперь мы можем решить уравнение (9.43) с помощью решения уравнения (9.1). Запишем

где для всех

Тогда из (9.3), (9.18), (9.19), (9.23), (9.45) и (9.47) после некоторых вычислений получим

Теперь можно решить (9.1), используя (9.31) и (9.41).

В частном случае, когда для данного определенная в (9.53) функция система (9.31) становится линейной и, как можно проверить непосредственной подстановкой, имеет решение

где произвольные постоянные, а величины являются корнями уравнения (9.50).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление