Главная > Математика > Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Уравнение Ван дер Поля

Одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений является уравнение Ван дер Поля

где - малый положительный параметр.

Уравнение (10.7) имеет вид (9.1) с Условия § 1 гл. IX удовлетворяются, если заданы значения .

Согласно (9.6), характеристическая функция будет иметь вид

Характеристическое уравнение имеет два корня, которые мы обозначим (опуская индекс 1 в этом частном случае). Тогда В силу (9.55),

Следовательно, левая часть равенства (9.56) будет иметь вид

Поэтому из (9.56) вытекает, что

Согласно (9.59), уравнениями усреднений будут

Полагая

преобразуем их к виду

Эти уравнения имеют решение

где С — произвольная постоянная. Следовательно, по (10.9),

где произвольная постоянная.

По (9.39), По (9.60), . Условия (9.61) удовлетворяются.

Согласно (9.64), решение уравнения (10.7) может быть записано в виде

где произвольные постоянные, которые могут быть определены по начальным условиям.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление