Главная > Математика > Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Уравнение

Уравнение

можно использовать при описании демпфированного вибратора, на который действует нелинейная пружина с запаздывающей реакцией. Уравнение (10.23) имеет вид (9.1), где все и

Условия § 1 гл. IX удовлетворяются, если заданы значения и функция определена, интегрируема и имеет ограниченную вариацию при

Согласно (9.6), характеристическая функция будет иметь вид

Имеются два корня характеристического уравнения: Согласно (9.55),

Следовательно, левая часть равенства (9.56) будет иметь вид,

Следовательно, по (9.56),

В силу (9.59), уравнениями усреднений будут

Полагая

получаем

Уравнение (10.27) можно проинтегрировать, что дает

где С — произвольная постоянная и

1°. Предположим, что Тогда Так как то, по (10.29), либо при либо когда возрастает (в последнем случае наша теория становится неприменимой из-за наличия больших решений). С другой стороны, при Из этого следует, что является неустойчивым решением уравнения (10.27). Если R имеет начальное значение, большее то мы встречаемся со случаем неприменимости теории для больших решений, тогда как если R имеет начальное значение, меньшее то R стремится к устойчивому решению Это означает, что при

2°. Предположим, что Тогда и становятся комплексно сопряженными величинами. Излагаемая теория становится неприменимой, так как аргумент показательной функции в правой части (10.29) будет чисто мнимым. Это приводит к в (9.39).

3°. Предположим, что Тогда как так и в (10.30) будут положительными. При либо либо тогда как при Следовательно, являются устойчивыми решениями уравнения (10.27), неустойчивым решением. Из этого следует, что или в соответствии с тем, будет ли R первоначально больше или меньше, чем

Случай, в котором R первоначально больше наиболее интересен и будет рассмотрен более подробно. Как замечено выше, в этом случае при Кроме того, по (10.28),

так что при и постоянном Следовательно,

По (9.39) и (10.29), По (9.60) и (10.30), Условия (9.61) удовлетворяются. Согласно (9.64), решение уравнения (10.23) будет иметь вид

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление