Главная > Математика > Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Уравнение ...

Уравнение

может быть использовано для описания демпфированного вибратора, имеющего нелинейную пружину с запаздывающим действием, на который воздействует внешняя сила с частотой 2.

Имеются два главных случая, которые требуют отдельного изучения. Первый — это резонансный случай, в котором , а второй — нерезонансный случай, в котором 2 не близко к

1°. Резонансный случай, . Как показывает дальнейший анализ, в этом случае и его производные имеют порядок относительно Из этого следует, что отношение последнего члена в правой части уравнения (10.32) к линейным членам есть и, значит, этот член мал по сравнению с линейными.

Уравнение (10.32) имеет форму уравнения (9.1) с все и

Условия § 1 гл. IX удовлетворяются, если заданы значения а функция определена, интегрируема и имеет ограниченную вариацию на

Характеристическая функция для уравнения (10.32) совпадает с данной в (10.24) и имеет нули Функции и определены в (10.25).

Левая часть (9.56) будет, согласно (10.25) и (10.34), иметь вид

Следовательно, по (9.56),

где, согласно (9.57),

По (9.59), уравнениями усреднений будут

Они имеют решения

где произвольные постоянныё и

Согласно (9.39), Согласно (9.60),

После некоторых преобразований эти формулы вместе с (10.34) дают при

где Если оценки (10.36) справедливы, то условия (9.61) удовлетворяются. Поэтому если и 2 таковы; что равенства (10.36) справедливы, то решение уравнения (10.32) в резонансном случае будет, согласно (9,64), иметь вид

где произвольные постоянные. Очевидно, что члены, содержащие С и а, стремятся к 0 при

2°. Нерезонансный случай. Когда 2 не близко к член в (10.32) уже нельзя считать малым по сравнению с другими

членами уравнения и необходимо особое исследование. В этом случае мы положим

где удовлетворяет уравнению

Мы рассмотрим три нерезонансных случая: полностью нерезонансный случай, в котором не близко к или случай, когда близко к случай, когда 2 близко к

Уравнение (10.39) имеет форму (9.1), где все и

Условия гл. IX удовлетворяются, если заданы значения и функция определена, интегрируема и имеет ограниченную вариацию при

Характеристическая функция для уравнения (10.39) совпадает с (10.24), что дает корни характеристического уравнения Функции определены в (10.25).

Левая часть (9.56) будет, согласно (10.25) и (10.40), иметь вид

Полностью нерезонансный случай. Мы теперь предположим, что 2 не близко к или Тогда, по (9.56) и (10.41),

Согласно (9.59), уравнения усреднений будут иметь вид

Следовательно, и стремится к 0 при причем Условия (9.61) удовлетворяются, если Из (9.64) и (10.38) следует, что при

2°b. Случай В этом случае, по (9.56) и (10.41),

где, согласно (9.57),

Согласно (9.57), уравнения усреднений будут иметь вид

Они имеют решение

где произвольные постоянные и где

Если то со при и теория становится неприменимой из-за больших решений. С другой стороны, когда по показательному закону при

Поэтому По (9.39) и (10.44), Условия (9.61) удовлетворяются, если . В этом случае, согласно (10.43), мы должны иметь Тогда, по (9.64) и (10.38),

2°с. Случай В этом случае, в силу (9.56) и

где, согласно (9.57),

По (9.59), уравнения усреднений будут иметь вид

Они имеют решение

где - произвольные постоянные и где определяется условиями

По (9.39), По (9.60) и (10.47),

После некоторых преобразований это выражение и соотношение (10.46) дают

Условия (9.61) удовлетворяются. По (9.64) и (10.38), решение уравнения (10.32) в этом случае будет иметь вид

Следовательно, в этом случае в колебаниях будет отчетливо наблюдаться вторая гармоника от основной частоты 2.

В резонансном случае первые члены в правой части каждой из формул (10.37) являются важнейшими. Они описывают колебания частоты 2 (возмущают 4 частоты), амплитуда которых будет максимальной (порядка при и убывает при изменении 2 в любую сторону от этого значения. Колебания частоты 2 остаются заметными также в нерезонансном случае, когда 2 не близко к . Их уравнения даны в (10.42). Однако, когда 2 близко к наблюдаются другие колебания частоты 22, накладывающиеся на первые. Это явление описывается формулами (10.50).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление