Главная > Математика > Построение групповых решений в пространствах четких и нечетких бинарных отношений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9.2. Выпуклые множества и выпуклые оболочки

Понятие «между», введенное в определении 9.2, позволяет дать следующее определение выпуклого множества в пространстве

Определение 9.5. Множество X точек пространства называется выпуклым, если из следует

Это определение дословно повторяет известное геометрическое определение выпуклого множества.

Определение 9.6. Выпуклой оболочкой множества X в пространстве называется наименьшее выпуклое множество, содержащее данное множество

Легко видеть, что выпуклая оболочка множества X всегда существует, определяется единственным образом и совпадает с пересечением всех выпуклых множеств пространства содержащих данное множество

Наличие альтернативного определения «между» для совокупности точек пространства (см. определение 9.3) приводит нас к понятию точки Парето для множества точек пространства

Определение 9.7. Точку Р пространства будем называть точкой Парето множества X точек пространства еюли

Множество всех точек Парето множества X будем обозначать Выше (см. гл. IV) мы уже обсуждали важность этого понятия в теории группового выбора.

Установим теперь взаимосвязь понятий выпуклости и точек Парето. Начнем со следующего тривиального утверждения.

Лемма 9.3. Для любого множества точек X в пространстве

Доказательство. Немедленно следует из леммы 9.1.

Как показывают простые примеры, вообще говоря, множества различны. Однако, как и в четком случае, имеется целый класс пространств, для которых множество точек Парето любого множества совпадает с выпуклой оболочкой этого множества.

Определение 9.8. Пространство называется полным, если для любых различных точек существует линейный сегмент который можно представить в виде объединения линейных сегментов:

(где ) таких, что симметрическая разность есть одноэлементное нечеткое множество для всех

Сформулированное условие полноты пространства гарантирует не только достаточный запас точек в пространстве, но и относительно «плотное» их расположение.

В качестве примера полного пространства рассмотрим пространство всех нечетких отношений на данном множестве А. Покажем, что действительно полное пространство. Пусть — две различные точки в Обозначим

Очевидно, что Построим линейный сегмент от к считая, что Поскольку то Занумеруем произвольным образом пары для которых Индуктивно построим линейные сегменты положив и

и, далее,

Очевидно, что каждый линейный сегмент однозначно определяется точками и объединение где число занумерованных пар является линейным сегментом от

Аналогично строится линейный сегмент от Легко проверяется, что объединение есть линейный сегмент между

Как будет показано ниже, пространство нечетких частичных порядков также является полным пространством,

пространство же нечетких эквивалентностей не является полным. Точки пространства такие, что есть одноэлементное нечеткое множество, будем называть соседними в пространстве Последовательность соседних точек в сегменте существование которой постулируется для полного пространства будем называть основой линейного сегмента

Рассмотрим линейный сегмент между последовательными точками основы линейного сегмента Пусть Легко видеть, что функции принадлежности всех точек из совпадают везде кроме точки При этом Отсюда следует, что линейный сегмент определяется однозначно соседними точками

В дальнейших построениях мы будем пользоваться в полном пространстве только линейными сегментами, имеющими основу. Как следует из вышеизложенного, такие линейные сегменты полностью определяются своими основами.

Лемма 9.4. Для любого множества точек X полного пространства справедливо включение

Доказательство. Предположим, что найдется точка такая, что Выберем произвольно точку и рассмотрим линейный сегмент с множеством вершин Такой линейный сегмент существует в силу полноты пространства Из нашего предположения сразу следует, что существует к такое, что все к принадлежат Так как точки соседние, то

для некоторой пары

Рассмотрим два случая.

Так как (в силу следствия из теоремы 9.2), то Отсюда Но откуда Далее, из следует, что Возможны два случая. Либо существует, и тогда либо В обоих случаях, очевидно, существует такое, что откуда Далее из следует, что откуда

Из следует, что откуда, с очевидностью, Для всех Другими словами,

Таким образом, мы получили, что Но откуда Полученное противоречие заканчивает рассмотрение первого случая.

Из того, что имеем откуда Поскольку то Из того же, что следует, что

Рассмотрим два случая. Либо существует и тогда либо В обоих случаях получается, что найдется такое, что , откуда Далее, из следует, что откуда Из следует, что для всех

Таким образом, мы установили, что т. е. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Из леммы 9.3 и 9.4 получаем следующую важную теорему.

Теорема 9.3. В полном пространстве выпуклая оболочка произвольного множества X совпадает с множеством точек Парето

В заключение рассмотрим связь между выпуклыми оболочками в пространстве и пространстве всех нечетких бинарных отношений на данном множестве А. Очевидно, что т. е. любое множество X в пространстве можно рассматривать как множество точек пространства Для данного множества X из пространства можно рассматривать в этом случае две выпуклые оболочки: — выпуклую оболочку в пространстве и — выпуклую оболочку в пространстве Множества и рассматриваемые как подмножества пространства вообще говоря, различны. Очевидно лишь, что

Для полных же пространств справедлива

Теорема 9.4. В полном пространстве выпуклая оболочка любого множества X есть пересечение пространства с выпуклой оболочкой X в пространстве

Доказательство: Так как полные пространства, то где множество точек Парето множества X в пространствах соответственно. Очевидно, откуда и следует утверждение теоремы.

На этом мы закончим рассмотрение геометрической структуры произвольных пространств нечетких отношений. Наши последующие построения будут связаны с конкретным пространством — пространством нечетких частичных порядков Это пространство является полным пространством (см. § 10.1), и для него справедливы все предыдущие результаты. Использование специальных свойств нечетких частичных порядков позволяет, однако, провести более детально изучение структуры пространства В частности, мы определим метрическую структуру на и рассмотрим проблему группового выбора для этого пространства. В данной работе мы ограничимся рассмотрением только этого пространства нечетких предпочтений, что в общем не является сильным ограничением, так как любое строгое предпочтение может рассматриваться как частичный порядок.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление