Главная > Разное > Основные принципы планирования эксперимента
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.5. Размер выборки

Часто возникает вопрос, какого размера выборку из совокупности нужно брать для проверки гипотезы? Ответ на этот вопрос можно получить, если экспериментатор в свою очередь ответит на каждый из следующих вопросов:

1. Какова величина смещения параметра (например, от 19,5 к 19,0), которое желательно обнаружить?

2. Какова величина изменчивости совокупности? (Например, на основании опыта

3. Какой размер риска желательно принять? (Например,

Если эти числовые величины могут быть по крайней мере оценены, то можно определить размер выборки. Пусть имеется два выборочных распределения: одно для X, когда гипотеза верна, и другое, когда верна альтернативная гипотеза:

Фиг. 2.5. Определение размера выборки.

Обозначим через значение, лежащее между двумя средними которое окажется критической точкой. Таким образом, для наблюденных значений X, меньших гипотеза отвергается, а для больших значений принимается. Величины показаны на приведенных графиках. Запишем систему двух уравнений, нормирующих значение во-первых, относительно (уравнение, соответствующее а) и, во-вторых, относительно (уравнение, соответствующее Решим эти уравнения относительно Уравнение, соответствующее (так как .

уравнение, соответствующее как

Вычитая второе уравнение из первого и умножая обе части каждого на получаем

Полагая имеем

Теперь правило решения таково: возьмем случайную выборку из 137 карбюраторов и, если среднее значение для этой выборки меньше то отвергаем гипотезу Н, а в противном случае принимаем гипотезу

Существуют хорошие таблицы для определения в некоторых случаях проверки гипотез, например таблицы Дэвиса [5, стр. 606—615], Оуэна [13, стр. 19, 23, 36, 41] и др.

Пример 2.1 (дисперсия). В качестве другого примера проверки гипотезы рассмотрим гипотезу о равенстве дисперсий двух нормальных совокупностей. Мы включили этот пример, поскольку рассматриваемая здесь статистика для проверки гипотез имеет множество приложений в последующих главах.

Следуя приведенным в разд. 2.3 этапам, имеем

3. Статистика для проверки гипотезы

(Эта величина часто называется дисперсионным отношением, здесь имеет степеней свободы, имеет степеней свободы.)

4. Если эти две выборки взяты независимо из нормальных совокупностей и гипотеза верна, то статистика F имеет асимметричное распределение, образованное как отношение двух независимых -распределений. В табл. Г приложения дается несколько квантилей -распределения. Входами в эту таблицу являются значения числа степеней свободы для числителя и числа степеней свободы для знаменателя

5. Критическая область в этом примере есть множество с числом степеней свободы, зависящим от размера обеих выборок.

6. Если результат первой выборки таков, что

а для второй выборки

то

а критическая область для 7 и 9 степеней свободы. Поэтому гипотеза не отвергается.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление