Главная > Разное > Основные принципы планирования эксперимента
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.3. Методы, применяемые после дисперсионного анализа

Проверка гипотез относительно средних

Если результаты дисперсионного анализа указывают на существование значимого различия в средних для разных испытаний (как в вышеприведенном примере), то, естественно, сразу возникают вопросы: «Какие средние различны?», «Отличается ли среднее для покрытия первого типа от среднего для покрытия второго типа?», «Отличаются ли средние для покрытий первого и второго типов от средних для покрытий третьего и четвертого типов?». Ответы на вопросы относительно средних после проведения дисперсионного анализа можно получить двумя способами в зависимости от того, когда был сделан выбор представляющих интерес контрастов между средними — до эксперимента или уже после получения материала.

Проверка гипотезы о средних по материалам, имеющимся до эксперимента. Ортогональные контрасты

Выбор контрастов можно обычно сделать до проведения эксперимента, не нарушая риск а, связанный с исходным дисперсионным анализом. Для этого нужно тщательно выбирать контрасты, и число контрастов не должно превосходить число степеней свободы для средних по испытаниям. Метод, который обычно используется в этом случае, называется методом ортогональных контрастов.

Контраст определяется по наблюденным суммам по испытаниям следующим образом: величина

будет контрастом, если и если в столбцах равны.

Два контраста называются ортогональными, если

для равных

Сумма квадратов для контрастов определяется как

Чтобы применить это к вышепоставленной задаче, можно определить три ортогональных контраста, поскольку есть три степени свободы между испытаниями. Одной из таких троек может быть

контраст для сравнения среднего в первом испытании со средним в четвертом испытании; сравнивает второе испытание с третьим и сравнивает

Таблица 3.7 Ортогональные коэффициенты

среднее первого и четвертого испытаний со средним второго и третьего испытаний. Коэффициенты при для этих трех контрастов даны в табл. 3.7

Из табл. 3.7 видно, что суммы коэффициентов равны нулю для каждого контраста, это справедливо и для сумм попарных произведений.

Для примера из разд. 3.2 с использованием кодированных данных из табл. 3.6 контрасты оказываются равными

Соответствующие суммы квадратов равны

Каждая сумма квадратов для контраста имеет одну степень свободы, общая сумма квадратов по всем испытаниям равна 1135,0, как и указано в табл. 3.2. Каждую из этих сумм квадратов можно сравнить со средним квадратом ошибки по Г-критерию с 1 и 16 степенями свободы следующим образом:

Сравнение этих значений -ным критическим значением 4,49 (табл. Г приложения) показывает, что первые две гипотезы отвергаются, а третья не отвергается. Следовательно, мы можем сказать, что существует значимая разница в средней проводимости для покрытий первого и четвертого типов, а также для покрытий

второго и третьего типов. Однако нет значимой разницы между средней проводимостью первого и четвертого типов и средней проводимостью второго и третьего типов. Эти результаты можно оценить, если решение о выборе контрастов принято заранее.

Поскольку метод ортогональных контрастов весьма часто применяется в экспериментальной работе, ниже приводятся определения и формулы для случая неравного числа наблюдений в испытаниях.

является контрастом, если

будут ортогональными контрастами, если

Сумма квадратов для контрастов, определенных таким образом, равна

Проверка средних при выборе контрастов после получения данных. Множественный ранговый критерий

Если сравнение проводится после изучения экспериментальных данных, то уровень а изменяется, поскольку решение принимается не случайно, а основывается на наблюденных результатах. Для таких ситуаций предложено несколько методов ни, но здесь будет приведен только множественный ранговый критерий Дункана [7].

После получения данных необходимо сделать следующее.

1. Упорядочить средних значений по возрастанию.

2. Из таблицы дисперсионного анализа взять значение среднего квадрата ошибки с соответствующим числом степеней свободы.

3. Подсчитать нормированную ошибку среднего для каждого испытания.

4. Из таблицы Дункана (табл. Д приложения) значимых рангов с выбранным уровнем значимости а, числом равным числу степеней свободы среднего квадрата ошибки, и выписать значений рангов.

5. Умножить эти значения рангов на чтобы получить группу из наименьших значимых рангов.

6. Проверить наблюденные разности между средними, начиная с крайних; разность максимального и минимального значений среднего сравнить с наименьшим значимым рангом при затем найти разность максимального среднего и первого, превосходящего минимальное, и сравнить ее с наименьшим значимым рангом при и т. д. Это сравнение продолжить для второго по величине среднего, которое сравнивается с наименьшим и т. д., пока не будут исследованы все возможные пары. Как исключение, разница между двумя средними не может быть объявлена значимой, если эти два средних содержатся в подмножестве с незначимым рангом.

Для иллюстрации этого метода рассмотрим закодированные данные в табл. 3.1, 3.2 и 3.6 для задачи с телевизионными трубками.

Здесь средние равны

Следуя приведенным выше этапам, имеем

2. Из табл. 3.2 средний квадрат ошибки с 16 степенями свободы равен 12,7.

3. Нормированная ошибка среднего равна

4. Выпишем из табл. приложения для -ного уровня значимости значимые ранги

5. Наименьшие значимые ранги умноженные на нормированную ошибку 1,59, равны

6. Наибольшее против наименьшего, 1-е против

наибольшее против второго слева, 1-е против

наибольшее против второго по величине, 1-е против

второе по величине против наименьшего, 2-е против

второе по величине против второго слева, 2-е против

второе слева против наименьшего, 3-е против

Здесь обнаруживается значимая разность между испытаниями, между а между значимой разности нет.

Фиг. 3.1.

Это можно показать, подчеркнув средние, разность между которыми незначима и которые поэтому представляют одну и ту же совокупность. Распределение средних показано на одномерной шкале фиг. 3.1. Здесь

разность между любыми двумя неподчеркнутыми средними значима, а любые два средние, подчеркнутые одной и той же линией, различаются незначимо.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление